П.2.3 Иррациональные уравнения.

Определение: иррациональные уравнения – это уравнения, в которых переменная величина находится под знаком корня.

Примеры иррациональных уравнений: ; ;

Основные способы решения иррациональных уравнений:

1. возведение обеих частей уравнения в одну и ту же степень;

2. метод введения новой переменной.

Рассмотрим решение иррациональных уравнений первым способом.

Пример 1. Решить уравнение .

Приведем уравнение к стандартному виду и решим его:

Проверка: при подстановке числа –1 в левой части имеем: , а в правой части: 2 - (-1) = 2 + 1 = 3. Значит , является корнем данного рационального уравнения. При подстановке числа 4 в левой части имеем: , а правая часть равна –2. 2  -2. Значит, не является решением уравнения, говорят, что это посторонний корень.

Ответ:

При решении иррациональных уравнений полученные решения требуют проверки, потому что неверное равенство при возведении в квадрат может дать верное равенство. В самом деле, неверное равенство 1 = -1 при возведении в квадрат дает верное равенство .

Иногда удобнее решать иррациональные уравнения, используя равносильные переходы.

Пример 2. Рассмотрим предыдущее уравнение:

По определению - это такое неотрицательное число, квадрат которого равен подкоренному выражению. Другими словами, уравнение равносильно системе:

  

Ответ:

З начит, = g(x)

Пример 3. Решим уравнение

Возведем в квадрат обе части уравнения:

Проверим, что полученные числа являются решениями уравнения. Действительно, при подстановке их в данные уравнения получаются верные равенства:

2 = 2 2 = 2

Следовательно, х = 3 х = – 3 – решения данного уравнения.

Ответ: 3; – 3

Пример 4. Решим уравнение

У равнение не имеет корней, т.к. арифметический корень не может быть отрицательным.

Значит,

если а  0 , то уравнение не имеет корней

если а  0 , то уравнение равносильно уравнению f (x) = а²

Пример 5. Решим уравнение

Возведем в квадрат обе части уравнения, получим:

Проверка показывает, что – 1 не является корнем уравнения, так как обе части уравнения не определены при х = – 1

При подстановке в уравнение числа 2 получаем верное равенство:

Следовательно, решением данного уравнения является только число 2.

Ответ: х = 2

Данного вида иррациональные уравнения можно приводить к равносильной системе, которая содержит уравнения и неравенства:

 или

Примечание: Из двух систем выбирают ту, которая проще решается.

Пример 6. Рассмотрим предыдущее уравнение:

  

Ответ: х=2.

Пример 7. Решить уравнение = .

Ответ:

В некоторых случаях, не решая данного иррационального уравнения, можно определить, что оно не имеет корней.

Пример 8.

Уравнение не имеет корней. Этот случай становится очевидным, если уравнение записать в виде . Арифметический корень не может быть отрицательным.

Пример 9. - уравнение не имеет корней, т.к. не могут быть равными ни при каких значениях х.

Пример 10. Первый радикал имеет смысл, когда х – 5  0 , т.е. х  5, а второй, когда 4 – х  0, т.е. х  4. Значит, данное иррациональное уравнение не имеет корней.

Пример 11. Решим уравнение . В отличие от рассмотренных ранее примеров данное иррациональное уравнение содержит не квадратный корень, а корень третьей степени. Поэтому, чтобы «избавиться от радикала», надо возвести обе части уравнения не в квадрат, а в куб.

После преобразований получаем:

Проверка показывает, что и 0 и 2 являются корнями данного уравнения.

Ответ: 0; 2.

Иногда иррациональные уравнения можно привести к простейшему виду с помощью введения новой переменной( второй способ решения иррациональных уравнений). Рассмотрим решение иррациональных уравнений этим способом.

Пример 1.

Замена:

Тогда:

Учитывая замену, имеем:

Проверка:

Ответ: у = 1

Пример 2.

Замена: , t

Учитывая замену, имеем:

Ответ: х = 8.

Пример 3. ;

Замена:

Тогда:

Учитывая замену, имеем:

Ответ: х = 1