Основные свойства корней

1)

2) ( b  0 )

3) ( k  0 )

4) ( k  0 )

5) ( если k  0, то а  0 )

6) Если k = п , то

7)		а, если а  0
		- а, если а  0

Например: 1) , т.к. ;

, т.к. ;

2)

3) ;

;

4) ;

;

;

5) ;

;

6) ;

7)

Простейшие преобразования радикалов

а) Вынесение множителя за знак радикала

;

;

б) Внесение множителей под знак радикала

;

в) Приведение подобных радикалов

;

Определение: Радикалы называются подобными, если после приведения их к простейшему виду они имеют равные подкоренные выражения и одинаковые показатели.

;

;

Действия над радикалами

а) Сложение и вычитание

;

;

б) умножение и деление радикалов

;

;

;

;

в) возведение радикала в степень

;

;

П.2.2 Обобщение понятия степени.

а) степень с натуральным показателем.

О пределение: степенью числа а ( а  0 ) с натуральным показателем n  1 называется произведение n множителей, каждый из которых равен а , т.е.

п раз

Если п=1, то полагают .

Число а – основание степени, п - показатель степени.

Например:

б) степень с целым показателем.

К множеству целых чисел относятся натуральные числа, им противоположные и ноль.

Определение степени с натуральным показателем мы уже дали, поэтому дальнейшим расширением понятия степени будет введение степени с нулевым показателем и целым отрицательным показателем.

Определение степени с нулевым показателем:

а = 1

Например: ;

Определение степени с целым отрицательным показателем:

Степенью числа а (а0) с целым отрицательным показателем (п0) называется

число, т.е.

Например:

в) степень с рациональным показателем.

К множеству рациональных чисел относятся целые и дробные числа. .

После рассмотрения степени с целым показателем, введение степени с дробным показателем будет дальнейшим расширением понятия степени.

Определение: Степенью числа а  0 с рациональным показателем , где называется число , т.е.

Например: ; ;

Если а = 0,  0 , то - существует и = 0

Например: ;

Если а = 0,  0 , то - не существует

Например: ; - на ноль делить нельзя

г) степень с иррациональным показателем.

Рассмотрим степень , где а – любое положительное число, а  1, а т - любое иррациональное число. Здесь могут быть такие три случая:

1) а  1, т - положительное иррациональное число, например .

2) 0  а  1, т - положительное иррациональное число, например .

Введя понятие степени с натуральным, целым, рациональным и иррациональным показателями, мы можем теперь говорить о степени с действительным показателем, для которой выполняются следующие свойства.

Основные свойства степени.

1) ( )

2) , а  0 ( )

3) ( )

4) ( )

5)

где а  0, b  0; m  R; n  R