
- •Министерство образования и науки, молодёжи и спорта украины колледж экономики и информационных технологий зиэит
- •Конспект лекций
- •Раздел I. Функции, их свойства и графики.
- •М онотонность.
- •2.Четность, нечетность.
- •П.1.3 Понятие об обратной функции.
- •П.1.5 Построение графиков функций с помощью геометрических преобразований известных графиков функций.
- •Функции, их свойства и графики.
- •Раздел I I. Степенная функция. П.2.1 Корень n-й степени и его свойства.
- •Основные свойства корней
- •Простейшие преобразования радикалов
- •Действия над радикалами
- •П.2.2 Обобщение понятия степени.
- •П.2.3 Иррациональные уравнения.
- •П.2.4 Системы иррациональных уравнений.
- •П.2.5 Иррациональные неравенства.
- •Показателем степени, ее свойства и график.
- •Свойства функции:
- •Степенная функция.
- •Раздел III.Показательная функция. П.3.1. Логарифм числа. Натуральные и десятичные логарифмы. Основное логарифмическое тождество.
- •П.3.2. Основные свойства логарифмов.
- •П.3.3. Показательная функция, ее свойства и график.
- •Свойства функции
- •Примеры применения свойств показательной функции
- •П.3.4.Простейшие показательные уравнения .
- •VI. Решение показательных уравнений путем логарифмирования обеих частей.
- •П.3.5. Показательные неравенства.
- •Раздел IV.Логарифмическая функция. П.4.1. Логарифмическая функция, ее свойства и график.
- •I. Логарифмические уравнения, решаемые по определению логарифма:
- •II. Логарифмические уравнения вида:
- •III. Логарифмические уравнения, решаемые потенцированием, с применением свойств логарифмов.
- •IV. Логарифмические уравнения, приводимые к квадратным.
- •П.4.3. Логарифмические неравенства
- •Логарифмическая функция.
- •Раздел V.Тригонометрические функции. П.5.1. Тригонометрические функции угла.
- •П.5.2. Радианная система измерения углов и дуг.
- •П.5.4.Четность, нечётность тригонометрических функций.
- •П.5.5. Периодичность тригонометрических функций.
- •П.5.6. Основные свойства тригонометрических функций и их графики.
- •П.5.8.Основные формулы тригонометрии.
- •1. Соотношения между тригонометрическими функциями одного и того же аргумента.
- •2. Формулы сложения.
- •3. Формулы двойного аргумента.
- •4. Формулы понижения степени.
- •5. Формулы половинного аргумента.
- •6. Формулы суммы и разности одноименных тригонометрических функций.
- •7. Формулы приведения.
П.1.5 Построение графиков функций с помощью геометрических преобразований известных графиков функций.
1. Построим график функции у = f (х) b, b 0, если известен график функции у = f (х).
Искомый график можно получить из графика функции у = f (х) с помощью параллельного переноса его по оси ОУ на b единиц вверх или вниз.
Например. Построим в одной системе координат графики функций:
1) у = х ² ; 2) у = х² + 2 ; 3) у = х² - 2
2. Известен график функции у=f(х). Надо построить график функции у=f(х+а)
График функции у = f (х + а) можно получить из графика функции у = f (х) путем параллельного переноса его вдоль оси ОХ на а единиц влево, а график функции у = f (х - а) - из графика функции у = f (х) путем параллельного переноса его на а единиц вправо.
Например. Построим в одной системе координат графики функций:
у = х ² ; у = (х+2)² ; у = (х –2)²
3. Дан график функции у = f ( х ). Построить график функции у = k f (х)
График функции у = k f (х) получается из графика функции у = f (х) путем:
а) растяжения относительно ОУ в k раз, при k > 1
б) сжатия относительно ОУ в k раз, при 0 < k < 1
в) путем преобразования симметрии относительно ОХ графика функции
у = k f (х) ( k > 0 ), при k < 0 .
Например, 1)у = х ² ;
2)у = 2х² - растяжение графика функции у = х ² в 2 раза по ОУ;
3)у = х² - сжатие графика функции у = х ² в 2 раза по ОУ;
4)у = - 2х² - симметрия относительно графика функции у = 2х²
4. Дан график функции у = f ( х ). Построить график функции у = f ( kx ).
График функции у = f ( kх ) получается из графика функции у = f (х) путем:
а) сжатия по ОХ в k раз, если k > 1
б) растяжения по оси ОХ в k раз, если 0 < k < 1
в) путем преобразования симметрии относительно ОУ графика функции
у = f ( k х )( k > 0) при k < 0
Например, у = х ² ;
у = ( 2 х)² - сжатие графика функции у = х² в 2 раза по ОХ;
у = ( х)² - растяжение графика функции у = х ² в 2 раза по ОХ;
у = - ( х)² - симметрия относительно ОХ графика функции у = ( х)²
5
.
Дан график функции у = f ( х ).
Построить график функции у = f
(|x|)
Как правило, в упражнениях, связанных с модулем, приходится освобождаться от модуля числа, пользуясь его определением.
По определению модуля числа, имеем:
-
f (|x|) =
f (х), если х 0;
f (- х), если х 0
Для построения графика у = f (|x|) , достаточно построить график функции у = f (х) при х 0 , а затем его отобразить симметрично относительно ОУ.
Например. Построить график функции у = 2 |x| + 1 .
Строим график функции у = 2х + 1, а затем ту часть графика, которая соответствует положительным значениям переменной х, отображаем симметрично относительно ОУ. y = 2x + 1
х |
0 |
1 |
2 |
y |
1 |
3 |
5 |


6. Дан график функции у = f ( х ). Построить график функции у = |f(x)|
Учтем, что:
-
|f(x)| =
f (х), если f (х) 0;
- f(х), если f (х) 0
Значит, достаточно построить график функции у = f (x), а ту часть графика, которая лежит ниже ОХ, отобразить симметрично относительно ОХ
Н
апример, у
= | 2 x + 1 | .
Вопросы для повторения по теме