2.Четность, нечетность.

Определение: Функция у = f ( х ) называется четной, если для любого значения х из области определения, значение ( - х ) также принадлежит области определения и выполняется равенство f ( - х ) = f ( х ). График четной функции симметричен относительно оси ОУ.

Определение: Функция у = f ( х ) называется нечетной, если для любого значения х из области определения значение ( - х ) также принадлежит области определения и выполняется равенство f ( - х ) = - f ( х ). График нечетной функции симметричен относительно начала координат

П.1.3 Понятие об обратной функции.

Определение : Функцию, принимающую каждое свое значение в единственной точке области определения, называется обратимой.

Например, при k ≠ 0 функция f(x) = kx + b обратима, а функция f(x) = x²(определен-

ная на всей числовой прямой) не является обратимой.

Если функция f(x) обратима, то она имеет обратную функцию g(x).

Определение: Функции f(х)и g(х)называются взаимнообратными, если D(f)= E(g), а E(f) = D(g).

Например.: Составить функцию обратную к у=2х+3 и построить графики взаимнообратных функций.

Решение. 1. D (y) = R; E (y) = R. Каждое свое значение у линейная функция принимает лишь при одном значении аргумента х.

2.Запишем функцию обратную к у=2х+3.Для этого будем считать, переменную у независимой ( аргументом), а переменную х – зависимой. Выразим х через у и поменяем их местами, т.к. независимую переменную принято обозначать х а зависимую у. Получим :

2x = у – 3

x = y –

у = х – - функция обратная к у = 2х + 3.

3.Построим графики взаимнообратных функций у = 2х + 3 и у = х – в одной системе координат.

П олучим:

Мы видим, что графики взаимнообратных функций симметричны относительно прямой у = х.

Не каждая функция имеет обратную на своей области определения.

Например, рассмотрим функцию у = х² .

1. D (y) : х  R; E (y) : у   0; + ∞ ).

Если рассмотреть зависимость х от у, то она не будет функцией, т.к. одному значению у будет соответствовать два значения х. Это означает, что функция у=х² на всей области определения не имеет обратной. Но, если рассматривать подмножества области определения ( - ∞; 0 ] или  0; + ∞ ), то на этих подмножествах функция у=х² каждое свое значение принимает только при одном значении аргумента. Функция обратная к у=х² на х(- ∞;0 ] будет y = - . Функция обратная к у=х² на х  0;+∞) будет y = .

y = x², x≥0 у = у = х² х≤0 у = -

D(y): xє[0;+∞) D(y): xє[0;+∞) D(y): xє(-∞; 0] D(y): x є[0; +∞)

E(y): yє[0;+∞) E(y): yє[0;+∞) E(y): yє[0; +∞) E(y): yє (-∞; 0]

Необходимым условием существования обратной функции является то, что она должна принимать каждое свое значение только при одном значении аргумента.

Достаточным условием существования обратной функции является монотонность данной функции, т.е. возрастание или убывание на всей области определения.

П.1.4 Обзор свойств основных видов функций.

I. Линейной называется функция, которую можно задать формулой у=kх + b, где х – независимая переменная, k и b - числа.

у у

k>0 k<0

(0;b) (0;b)

0 х 0 х

Свойства линейной функции:

1. Область определения линейной функции D (y) : х  R

2. Множество значений функции E (y) : у  R

3. Функция возрастает, когда k > 0, например y = 2 х + 3

функция убывает, когда k < 0, например y = - 2 х + 3

4. Функция ни четная, ни нечетная, т.к.

y (-х) = k (-х) + b = - kx + b  y (x)

y (-х) = k (-х) + b = - kx + b  - y (x), k  0; b  0

II. Если b = 0, то y = kx. Такая зависимость называется прямой пропорциональностью.

Свойства функции у = kx:

1. D (y) : х  R

2. E (y) : у  R

3. Г рафик проходит через точку ( 0 ; 0 )

у

0 х

4. Функция возрастает при k > 0 и располагается в I, III четвертях системы координат.

Функция убывает при k < 0 и располагается во II, IV четвертях системы координат.

5. y (-х) = k (-х) = - kx = - y (x), значит функция нечетная, и поэтому график данной функции симметричен относительно начала координат.

III. Если в формуле y = kx + b, k = 0, то получаем функцию y = b. Графиком этой функции является прямая, параллельная оси ОХ (или совпадающей с ней).

Свойства функции y = b :

1. D (y) : х  R

2. E (y) : у = b

3. Функция не возрастает и не убывает.

4. y (-х) = b = y (x), значит функция y = b – четная. График ее симметричен относительно ОУ.

5. График проходит через точку (0;b)

IV.y =

Эта функция выражает обратно пропорциональную зависимость, х – независимая переменная, число k  0. Графиком ее есть гипербола.

Свойства функции y = :

1 )D (y) : х  ( - ∞; 0 ) U ( 0; + ∞ )

2) E (y) : у  ( - ∞; 0 ) U ( 0; + ∞ )

4)Функция убывает при k > 0 , на промежутках : х  ( - ∞; 0 ) U ( 0; + ∞ )

функция возрастает при k < 0 ,на промежутках : х( - ∞; 0 ) U ( 0;+ ∞ )

5) Функция нечетная, т.к. y (- х) = = - = - у (х). График симметричен относительно начала координат.

V . Функция у = х²

Свойства функции у = х²:

1) D (y) : х  R

2) E (y) : у  [ 0; + ∞ )

3) Функция у = х² возрастает на интервале х  [ 0; + ∞ ),

убывает на интервале х  ( - ∞; 0 ]

4) Функция четная, т.к. у ( -х ) = ( -х )² = х² = у (х)

Значит, график функции у = х² симметричен относительно ОУ.

5) x = 0  у = 0 , значит, график проходит через начало координат.

VI. Функция у = х³

Графиком этой функции является кубическая парабола.

Свойства функции у = х³:

1. D (y) : х  R

2. E (y) : у  R

3. Функция возрастает на всей области определения, т.е. х  ( - ∞; + ∞ )

4. Функция у = х³ нечетная, т.к. у ( -х ) = ( -х )³ = - х³ = - у (х)

График этой функции симметричен относительно начала координат.

Если х = 0, то у = 0, значит график проходит через ( 0 ; 0 )

VII. Функция у =

Свойства этой функции вытекают из свойств арифметического корня. Графиком функции является расположенная в I четверти ветвь параболы, симметричная ветви параболы у = х² (х>0) относительно прямой у = х.

Свойства функции у =

1. D (y) : х  [ 0; + ∞ )

2. E (y) : у  [ 0; + ∞ )

3. Функция возрастает на всей области определения функции т.е. х  [ 0; + ∞)

4. Функция ни четная, ни нечетная. График функции не симметричен ни относительно ( 0 ; 0 ) , ни относительно ОУ

5. Если х = 0 , то у = 0, график проходит через начало координат.

VII. функция у = │x│.

По определению модуля числа, имеем:

у = |x| =	х, если х  0;
	- х, если х  0

Значит, график функции у = |x| состоит из двух полупрямых, заданных уравнениями у = x , если х  0 и у = - x , если х  0 .

Свойства функции у = |x|

1. D (y) : х  R

2. E (y) : у  [ 0; + ∞ )

3. Функция убывает на интервале х  ( -∞; 0 ] ,

возрастает на интервале х  [ 0; + ∞ )

4. Функция четная,т.к.у(-х)=|-x|= =у(х). График симметричен относительно оси ОУ.

5) Если х = 0, то у = 0, значит график проходит через начало координат.