П.5.8.Основные формулы тригонометрии.
1. Соотношения между тригонометрическими функциями одного и того же аргумента.
Основные тригонометрические тождества:
(1)
Разделив обе
части тождества (1) на
при
,
получим:
(2)
Разделив обе
части тождества (1) на
при
,
получим:
(3)
Т.к
;(5)
То
Например: 1) Найти значения всех тригонометрических функции аргумента , если
и
Решение. Из тождества (1) находим
т.к
во II четверти отрицателен.
;
2) Найти значения
всех тригонометрических функции
аргумента
, если
и
Решение. Из тождества
(2) находим:
т.к cos
в III четверти отрицателен.
Из тождества (1)
имеем:
т.к
в III четверти отрицателен.
Из тождества (6)
имеем:
2. Формулы сложения.
Так называют формулы, которые выражают тригонометрические функции суммы или разности двух аргументов через тригонометрические функции этих аргументов.
(7)
(8)
(9)
(10)
(11)
(12)
Например. Вычислить:
2)
.
3) Найти
если
;
Решение. По формуле
(12):
Чтобы
узнать
,
надо вычислить
.
Из
тождества (1) имеем:
.
Т.к.
лежит в III четверти, то
.
Значит,
.
4)Найти sin(
−
)
и cos(
+
),
если
.
Решение:
т.к
в III четверти.
,
т.к
в IV четверти.
Значит,
3. Формулы двойного аргумента.
Используя формулы сложения имеем:
.
Значит,
|
(13) |
Аналогично получим:
|
(14) |
|
(15) |
|
(16) |
|
(17) |
4. Формулы понижения степени.
Из (16): |
|
(18) |
Из (17): |
|
(19) |
5. Формулы половинного аргумента.
Если в формулах
(18) и (19) заменить
на
,
имеем:
|
(20) |
|
|
|
(21) |
|
|
Разделим почленно (21) на (20), получим:
|
(22) |
Разделив (20) на (21), получим:
|
(23) |
Если в равенстве
числитель и знаменатель умножить на
,
получим:
,
т.е.
(24)
Аналогично, если
в
числитель и знаменатель умножить на
,
получим:
,
т.е.
(25)
Например:
1)
;
2)
;
3)Дано: cos
=
– 0,6 ;
<
<
( III – четв.) Найти sin
.
Pешение:т.к.в III
четверти sin
<
0, то sin
–
=
–
=
– 0,8.
Ответ: sin = – 0,8.
4)Дано : cos
=0,6;
є
IV-четв; sin
=
,
є
III-четв.
Найти:
.
Решение.
1)
,
найдем sin
:
,
т.к.
в IV четверти.
.
Значит,
.
2)
,найдем
cos
:
,
т.к.
в III четверти.
.
Значит,
.
Или II способ:
.
Ответ: sin 2
=
–
,
cos 2
=
.
5) Доказать, что
.
Будем преобразовывать левую часть равенства:
ч.т.д.