II. Логарифмические уравнения вида:
Например. Решить уравнение:
log 5
(x+1) = log 5
(4x-5) ОДЗ:
.
x+1=4x-5
3x=6
x=2
Ответ: с учетом ОДЗ, х=2.
III. Логарифмические уравнения, решаемые потенцированием, с применением свойств логарифмов.
a) log 5 (x-10) = 2+log 5 2 ОДЗ: x-10>0
log 5 (x-10) = log 5 25+log 5 2 x>10
log 5 (x-10) = log 5 (25 ∙ 2) хє(10;+∞)
log 5 (x-10) = log 5 50
x-10=50
x=60 (удовлетворяет ОДЗ)
Ответ: 60.
б) log a x = 2 log a 3+log a 5 ОДЗ: x>0
log a x = log a 32+log a 5
log a x = log a (9 ∙ 5)
log a x = log a 45
x=45 ( удовлетворяет ОДЗ).
Ответ: 45.
в) log 3
(x+1)+log 3
(x+3) = 1 ОДЗ:
x>-1
log 3((x+1)(x+3)) = log 3 3
x2+4x+3=3
х2+4х=0
x(x+4)=0
x1=0; x2=−4 .
Ответ: с учетом ОДЗ, х=0.
г)
ОДЗ:
x>4
.
(x-4)(2x-1)=9
2x2-9x-5=0;
D=121; x1=
;
x2=5
Ответ: с учетом ОДЗ,x=5.
IV. Логарифмические уравнения, приводимые к квадратным.
Логарифмические уравнения вида:
A log a2 x + B log a x + С=0 решаются путем приведения к квадратным уравнениям
с помощью замены: log a x = y.
Тогда Ау2 + Ву + С =0. Находим у1 , у2 и, учитывая замену, имеем: :
log a x = y1 и log a x = y2. Находим х1 и х2.
Например: Решить уравнения:
a) log 42 x – log 4 x – 2 = 0 ОДЗ: x>0
Замена: log 4 x = y,
тогда log 42 x = y2
Имеем: y2
– y – 2 = 0, x1
=
;
x2 =
2
Учитывая замену, имеем:
1) log 4 x = -1 и 2) log 4 x = 2
x = 4-1 x = 42
x = x = 16
Ответ:
.
б) log 42 x + log 4 - 1,5 = 0 ОДЗ: х>0
log 42 x + log 4 x – 1,5 = 0
Замена: log 4 x= y
y2 + y – 1,5 = 0
D = 0,52
+ 4 ∙ 1,5 = 6,25 ; у
=
y1
= 1,у2=
−
.
Учитывая замену,
имеем: 1) log 4
x =
и 2) log 4
x = 1
x
= 4
x = 41
x
1=
х2=4
Ответ: c учетом ОДЗ, корни уравнения и 4 .
П.4.3. Логарифмические неравенства
Определение.
Неравенства
вида
,
где а>0; а≠1 называются логарифмическими.
В первую очередь, при решении таких неравенств учитывают ОДЗ логарифмических функций, т.е. выражения, стоящие под знаком логарифма, считаются положительными.
При a>1 логарифмическая функция возрастает. Поэтому большему логарифму отвечает и большее значение подлогарифмического выражения.
При 0<a<1 логарифмическая функция убывает. Поэтому большему логарифму соответствует меньшее значение подлогарифмического выражения.
С учётом всех этих
замечаний логарифмические неравенства
вида
,
где а>0; а≠1 можно решать по схеме:
a>1 |
0<a<1 |
|
|
Например. Решить неравенства:
1
)
log 2x<3
2)
Представим обе части неравенства в виде log по одному основанию :
log 2x<log
28
a=2, a>1, значит
y=log 2x
↑, поэтому
0<a<1,
значит у=log2x
,поэтому
знак неравенства не меняется и с учетом знак неравенства меняется и с учетом области определения имеем: области определения имеем:
Ответ:
Ответ: хє(1,5;−1).
3) lg2 x +2lg x >3 ОДЗ: x>0
lg2 x+2lg x-3>0
Замена: lg x=y
Имеем: y2+2y−3>0
(y+3)(y-1)>0
+ − +
◦ ◦
-3 1
y < − 3 и y > 1
учитывая замену, имеем:
1) lg x<−3 2) lg x>1
a=10, y= lg x ↑ a=10, y= lg x ↑
x >
10
С учётом ОДЗ, имеем
.
4) log
0,4
x+ log
0,4
(x−1)≥ log
0,4
(x+3) ОДЗ:
x>1
Данное логарифмическое неравенство решается с использованием свойств логарифмов:
log 0,4 (x(x-1))≥log 0,4 (x+3)
log 0,4 (x2-x) ≥ log 0,4 (x+3)
a=0,4, 0<a<1, значит y= log 0,4 x ↓ и,с учетом ОДЗ, имеем:
.
Ответ: хє(1;3].
Вопросы для повторения.