
Задание 4. Непрерывные отображения. Гомеоморфизм. Основные понятия и определения.
Отображением
множества Х в множество Y
называется тройка, составленная из
множеств X,Y
и правила, ставящего в соответствие
каждому элементу множества Х в
точности один элемент множества Y.
Обозначают
.
Если
,
то отображение называют функцией.
Тождественным
отображением множества Х называется
отображение
,
определяемое формулой
.
Композицией
отображений
и
,
называется отображение
,
определяемое формулой
.
Пусть
отображение множества
на множество
.
Подмножество
называется насыщенным множеством при
отображении
,
если
.
Пусть
и
- топологические пространства с
топологиями
и
.
Отображение
называется открытым, если оно каждое
открытое множество переводит в открытое.
Пусть
и
- топологические пространства с
топологиями
и
.
Отображение
называется замкнутым, если оно
каждое замкнутое множество переводит
в замкнутое.
Пусть
и
- топологические пространства с
топологиями
и
.
Отображение
называется
непрерывным в точке
,
если для любой окрестности
точки
найдётся окрестность
точки
,
такая, что
.
Отображение
называют непрерывным, если оно
непрерывно в каждой точке пространства
любого
открытого подмножества пространства
Y является открытым
подмножеством пространства Х.
Замечание.
Отображение
не является непрерывным в точке
тогда и только тогда, когда найдётся
окрестность
точки
,
такая, что для любой окрестности
точки
справедливо
.
Непрерывное
отображение
называется гомеоморфизмом, если
оно биективно и, кроме того, обратное
отображение
также
непрерывно. В этом случае пространства
и
называют гомеоморфными. Обозначают
.
Отображение
топологического пространства
на топологическое пространство
называется
факторным, если в
открыты
те и только те множества, полный прообраз
которых открыт в
.
Взаимно
однозначное отображение
метрического пространства
на метрическое пространство
называется изометрией, или
изометрическим отображением, если
для любой пары точек
выполняется условие
.
Если
существует изометрическое отображение
пространства
на метрическое пространство
,
то говорят, что эти пространства
изометричны.
Замечание. Обратное к изометрическому отображению «на» так же является изометрическим отображением.
Непрерывное
отображение
называется псевдооткрытым, если
для всякой точки
и любой окрестности
множества
в
выполняется включение
.
Замечание. Одной из классических проблем топологии является проблема гомеоморфизма топологических пространств, т. е. определения, являются ли данные пространства гомеоморфными или нет. В каждом конкретном случае характер решения зависит от ответа. Для доказательства гомеоморфности достаточно построить гомеоморфизм между пространствами, что в той или иной форме обычно и делается. Для доказательства негомеоморфности недостаточно рассмотреть какое-либо определенное отображение, а непосредственно обозреть все отображения обычно невозможно. Поэтому при доказательстве негомеоморфности чаще всего пользуются косвенными средствами. А именно находят какое-нибудь свойство или характеристику, которыми обладает одно пространство, но не обладает другое, и которые передаются от пространства к пространству при гомеоморфизме. Тривиальными примерами таких топологических свойств и инвариантов являются мощность множества точек и мощность тпологической структуры.
Множество
подмножеств множества
называется его покрытием, если
есть объединение множеств из Г, т. е.
.
В этом случае говорят так же, что
множества, входящие в
,
покрывают
.
Покрытиепространства
называется
фундаментальным, если для того,
чтобы множество
было открытым, необходимо и достаточно,
чтобы его пересечение с каждым множеством
было открыто в
.
Покрытие топологического пространства называется открытым, если оно состоит из открытых множеств, и замкнутым - если из замкнутых.