1.3. Числовые характеристики случайных величин.
Числовые характеристики позволяют выражать в сжатой форме наиболее существенные особенности распределения случайной величины. В теории вероятности используется большое количество числовых характеристик, имеющих различное назначение и различные области применения. Из них наиболее часто используются начальные и центральные моменты. С помощью числовых характеристик существенно облегчается решение многих вероятностных задач, когда использование законов распределения приводит к громоздким выкладкам и не позволяет получить результаты в явном виде.
Для того, чтобы дать общее определение моментов одновременно для дискретных и непрерывных случайных величин, рассмотрим случайную величинуXи предположим, что она описывается вероятностямиP1, P2, ..., Pm ее возможных значенийх1, х2,..., хm, еслиХ- дискретная величина, и плотностью распределенияf(x), еслиХ - непрерывная случайная величина.
Н
,
еслиX– ДСВ; ,
еслиX– НСВ.
(1.14)
-
для ДСВ; -
для НСВ.
(1.15)
M[X]=X=
Следует отметить, что начальный момент n-го порядка случайной величины - это математическое ожидание ееn-ой степени.
Математическое ожидание суммы случайных величин равно сумме математических ожиданий слагаемых, то есть
M[X1+X2+…+Xm]=M[X1]+M[X2]+…+M[Xm]
и здесь неважно, зависимы или независимы случайные величины X1 , X2 , ... , Xm.В то же время математическое ожидание произведения случайных величин равно произведению математических ожиданий, то есть
M[X1X2…Xm]=M[X1]M[X2]…M[Xm]
только в том случае, когда случайные величины независимы.
Рассмотрим теперь непрерывную случайную величину Y, которая является функцией другой случайной величиныХ, то естьY=g(X).
Тогда математическое ожидание случайной величины Yопределяется через плотность распределения ее аргументаXравенством:
M[Y]=M[g(X)]=.
Э
,
еслиX– ДСВ; ,
еслиX– НСВ.
Центральный моментn-го порядка случайной величиныХопределяетcя как:
M[(X-X)n]= (1.16)
РазностьХ-Хмежду случайной величиной и математическим ожиданием называетсяцентрированнойслучайнойвеличинойи характеризует отклонение случайной величины от ее среднего значения. Очевидно, что центральный моментn-го порядка случайной величины есть математическое ожиданиеn-ой степени соответствующей центрированной случайной величины. Легко показать, что для случайной величины центральный момент 1-го порядка или математическое ожидание центрированной случайной величины всегда равно нулю:
M[(X-X)]=M[X]-M[X]=X-X=0.
Второй центральный моментM[(X-X)2] называетсядисперсиейслучайной величины и обозначается черезD[X] илиDx. Для непосредственного вычисления дисперсии, согласно (1.16), служат формулы:
-
для ДСВ; -
для НСВ.
Dx=D[X]=(1.17)
Дисперсия может быть определена через математическое ожидание и второй начальный момент:
Dx=M[(X-X)2]=M[X2-2XX+(X)2]=M[X2]-2XM[X]+(X)2=
=X2-2XX+(X)2=X2-(X)2. (1.18)
Дисперсия суммы независимых случайных величин Х1, Х2, ..., Хmравна сумме их дисперсий, то есть:
D[X1+X2+…+Xm]=D[X1]+D[X2]+…+D[Xm].
Предположим теперь, что количество случайных величин в сумме тоже случайно, то есть определим случайную величину
Y=,
где N- случайная величина со средним значениемNи дисперсиейDn, аХ1, Х2,..., Хn- одинаково распределенные независимые случайные величины. В этом случае математическое ожидание и дисперсия случайной величиныYопределяются равенствами:
Y=NX;
Dy=NDx+(X)2Dn.
Дисперсия случайной величины характеризует рассеивание, то есть разброс случайной величины относительно ее математического ожидания, и имеет размерность квадрата случайной величины. Однако удобнее пользоваться характеристикой рассеивания, размерность которой совпадает с размерностью случайной величины. Такой характеристикой является среднее квадратическое отклонение, обозначаемое как[X] илиxи определяемое как квадратный корень из дисперсии:
(1.19)
Таким образом, математическое ожиданиеXи дисперсияDx(или среднее квадратическое отклонениеx)характеризуют наиболее важные особенности распределения: его положение и степень разбросанности.
В некоторых случаях в качестве безразмерной характеристики разброса значений случайной величины относительно математического ожидания используют коэффициентвариации, который определяется как отношение среднего квадратического отклонения к среднему значению:
(1.20)
Используя выражения (1.18) - (1.20), можно получить соотношение, связывающее второй начальный момент случайной величины с коэффициентом вариации:
X
(1.21)
В таблице приведены основные числовые характеристики (математическое ожидание, второй начальный момент, дисперсия, среднее квадратическое отклонение, коэффициент вариации) для различных распределений, рассмотренных ранее в данном разделе.
Числовые характеристики распределений.
Распределение |
M[X] |
D[X] |
[X] |
x | |
Пуассона |
a |
a(a+1) |
a | ||
Геометрическое | |||||
Экспоненциальное |
1/ |
2/2 |
1/2 |
1/ |
1 |
Эрланга |
k/ |
k(k+1)/2 |
k/2 |
/ |
1/ |
Гиперэкспоненциальное порядка k |
X2-X2 |
| |||
Равномерное |