2.6. Модели систем управления с раскрытой

причинно-следственной структурой

Под структурой систем управленияпонимают причинно-следственную связь между элементами направленного действия. Понятия «система» и «структура» являются близкими по смыслу.Наиболее общие определения понятий системы и структуры строятся как отношения на множествах, математически этографы. Графы являются универсальным средством описания структур систем. При небольшом числе элементов и связей весьма наглядныдиаграммы графов, т.е. их геометрические образы.

В зависимости от элементов множеств рассматриваются различные типы графов. Приведенная на рис.3, асхема, иллюстрирующая принципы управления, отражает типовые структуры причинно-следственных отношений основных элементов систем управления и, по существу, представляет собойориентированный граф. Электрическая и механическая схемы, изображенные на рис.2, также являются примерами графов, только неориентированных.

Имея в виду структуру связей элементов, иногда говорят о топологии (топографии) системы. Даже без конкретизации вершин и дуг, т.е. только по топологии, можно сделать ряд важнейших выводов о свойствах системы, которые сохраняются при дальнейшем раскрытии неопределенности – уточнении структур операторов и конкретизации значений параметров.

В зависимости от подхода к моделированию и от конкретного содержания элементов исходного множества и элементов отношения модели с раскрытой структурой могут быть представлены структурными схемами, сигнальными графами, системами дифференциальных уравнений в причинно-следственной форме и некоторыми другими формами.

Структурная схема(C-граф) представляет собой причинно-следственную связь звеньев. Линейное звено (рис.7, а) в общем случае имеет любое число входов; оно преобразует сумму входов в единственную переменную выхода по некоторому операторуW_i (рис.7, б):

В частном случае оператора тождественного преобразования звено выступает как сумматор.

Структурная схема является ориентированным графом и состоит из множества вершин W = {W₁,…,W_N} и множества дугХ= {(W_i,W_j)} – упорядоченных пар вершин. Дугам графа соответствуют переменныеx_i;i = 1, ...,N, а вершинам – звенья. Для того, чтобы отличать рассматриваемый граф от сигнальных графов других типов, назовем его С-графом. На языке теории бинарных отношений С-граф определяется как пара множеств:

С = < W,X >,

а структурная схема (геометрический образ) называется также диаграммой графа (рис.8). Вершина С-графа – звено общего вида, поопределению суммирует переменные заходящих дуг. Это позволяет отказаться от специального элемента суммирования, что отличает С-графы от классических структурных схем.

Дуга С-графа – элемент (W_i , W_j) отношения Х задает причинно-следственную связь между двумя звеньями, причем выход j-го звена является входом i-го. Дуге (W_i , W_j) соответствует переменная x_j.

Теоретико-множественное описание систем дает естественный способ ввода и редактирования моделей систем управления как последовательного раскрытия неопределенности. Для этого модели упорядочиваются по рангам неопределенности R= 0, 1, 2, 3.

Множество Wзвеньев задает модель нулевого рангаM_s(0).Для примера С-графа, диаграмма которого изображена на рис.8, множество перечисляется так:

W = {W₁ , W₂ , W₃ , W₄}.

В случае однотипных звеньев можно ограничиться заданием числа вершин графа (звеньев), т.е. мощности множества .

Дополнение модели M_s(0) множеством Х дает модель первого рангаМ_s(1) – это топология (топография) системы. Для С-графа, изображенного на рис.8, множество перечисляется так:Х= {(1,3), (1,4), (2,1), (3,2), (4,1)}. В перечислении приведены только индексы (номера) звеньев.

Дальнейшее раскрытие неопределенности достигается при задании структур операторов вершин. Для рассматриваемого класса систем передаточные функции являются отношениями полиномов: W_i(s) = B_i(s) / A_i(s). Задание их структур сводится к указанию степеней m_i и n_i полиномов B_i и A_i. Когда для всех звеньев заданы структуры операторов, образуется модель системы структурного ранга М_s (2).

Пусть для рассматриваемого примера системы передаточные функции звеньев имеют вид W₁(s) = k₁; W₂(s) = k₂ / (1 + T₂s)²; W₃(s) = -1; W₄(s) = -₄s / (1 + T₄s).Информацию о структурах операторов можно закодировать массивами степеней полиномов числителей и знаменателей передаточных функций: {0,0,0,1} и {0,2,0,1}.

Результатом конкретизации значений всех коэффициентов полиномов является полностью определенная модель третьего, параметрического ранга М_s (3).

Ранее изложено описание собственно системы (автономной системы). Для описания связей системы со средой следует указать звено, на вход которого подается воздействие, и звено, выход которого является выходом системы. На примере С-графа (рис.8) номер входного звена r = 1, а выходногоq = 2. В результате оказывается определенной модель системы со связями со средойM_ysf (3). При изучении влияния вариаций звеньев на характеристики системы указывается варьируемое звено. На рис.8 им является звеноW₂.

Сигнальный граф(граф Мэзона) является одной из удобных в теории и расчетной практике форм представления моделей систем управления.

Модель системы в форме сигнального графа определяется как бинарное отношение W на множестве переменных Х = {x₁, …, x_N}: G = <X,W>

Элементам отношения W={(x_i x_j)} ставятся в соответствие операторы преобразования переменных. На диаграммах сигнальных графов переменным отвечают вершины, где суммируются сигналы заходящих дуг, а элементам отношения – дуги. Способы задания моделей различных рангов в форме сигнальных графов те же, что и для С-графов.

На рис.9изображена диаграмма сигнального графа – модель топологического ранга, несущая ту же информацию о системе, что и структурная схема (рис.8). Необходимо подчеркнуть, что формы представления моделей и способы их отображения могут быть различными – символьными или алгебраическими (уравнения, матрицы), геометрическими или топологическими (диаграммы графов). Информация о моделях различных ранговRпоследовательно раскрывается описанием множеств, задающих: состав элементов R = 0; топологию причинно-следственных связей между нимиR = 1; структуры операторовR = 2; параметрыR = 3.

Теоретико-множественное представление структур систем в форме графов обеспечивает формализацию описания моделей, упрощает кодирование их графических образов, а также разработку алгоритмов анализа систем.