12. Применение дисперсионного анализа для оценки качества уравнений регрессии. Оценка значимости коэффициентов полинома.

Дисперсионный анализ основан на разложении общей изменчивости результативного показателя (общей дисперсии) на объяснённую дисперсию, которую удалось объяснить изменением переменных, вошедших в уравнение регрессии, и остаточную регрессию, которую объяснить не удалось. Для проведения дисперсионного анализа вычисляются.

1. Объяснённая сумма квадратов:

с количеством степеней свободы: среднее значение суммы квадратов:

2. Остаточная сумма квадратов:

с количеством степеней свободы: среднее значение суммы квадратов:

3. Общая сумма квадратов:

с количеством степеней свободы: Должно выполняться равенство:

4. Критерий Фишера

с количеством степеней свободы:

5. Коэффициент множественной детерминации, который показывает, какую

часть изменения результативного показателя удалось объяснить изменением переменных, вошедших в уравнение регрессии.

с количеством степеней свободы:

По статистическим таблицам для критерия Фишера и коэффициента множественной детерминации с вышеприведёнными количествами степеней свободы и рекомендуемого уровня значимости 0.05 находят их критические значения. Если вычисленные значения критерия Фишера и коэффициента множественной детерминации не меньше критических значений, то результаты аппроксимации признаются удовлетворительными.

6. Ввиду того, что коэффициенты уравнения регрессии вычисляются по случайным величинам, то они и сами являются случайными величинами. Поэтому можно вычислить их стандартные ошибки и по ним определить критерий Стьюдента и уровни их значимости.

где a_ii - диагональный элемент матрицы чем больше величина t_ij, тем лучше.

По статистическим таблицам для вычисления , для n-1 степеней свободы, для рекомендованного уровня значимости вычисляем критическое значение критерия Стьюдента . Если вычисленное значение t_ij превышает критическое, то считаем, что уровень значимости b_ij не превышает рекомендуемого значения , и поэтому вычисленные значения коэффициентов приемлемы для отображения экспериментальных данных. В противном случае рекомендуется подобрать другие значения переменных в аппроксимирующее уравнение регрессии, в виде каких-либо функций от аргументов.

Чтобы не производить матричных вычислений, для однофакторной линейной зависимости получены прямые формулы для вычисления критериев Стьюдента.

где

Приведём формулы для определения ошибок вычисления :

и :

13. Метод оптимизации по системе уравнений в частных производных.

Постановка задачи оптимизации в общем случае сводится к

максимизации или минимизации целевой функции с ограничениями на остальные функции и оптимизируемые факторы

….

Наиболее простой случай, когда нет никаких ограничений. В этом случае применяется классический метод вычисления экстремального значения по решению системы в частных производных по оптимизируемым переменным.

Необходимым условием экстремального значения является равенство нулю частных производных. Экстремальное значение находится решением систем уравнений в частных производных.