2. Метод моментов. Гиперэкспоненциальный закон.

Структурная схема гиперэкспоненциального распределения, состоящего из n ветвей, представлена на рис.

Ф ункция плотности ГЭР: ₁ ₁

₂ ₂

_n _n

Структурная схема гиперэкспоненциального закона распределения случайных чисел

МПФ ГЭР:

, где n – количество параллельных ветвей; _i – вероятность выбора i-й ветви.

Достоинством--возможность создания аналитических моделей систем, а Недостаток по сравнению с представлением экспоненциальным законном: в сравнительно большом количестве параметров, которое требуется определить. То есть при количестве ветвей n, количество определяемых параметров 2n. Таким образом, требуется вычислить по МПФ не только 2n-1 производных, но и решить систему, состоящую из 2n уравнений. Первое уравнение записывается из условия, что сумма вероятностей выбора ветвей должна равняться 1. ₁ + ₂ + … + _n = 1.

Д ля упрощения аппроксимации на практике широко используется частный случай гиперэкспоненциального распределения, состоящего из двух ветвей, определяемого двумя параметрами, структурная схема которого представлена на рис.

 2 Структурная схема частного случая гиперэкспоненциального закона распределения случайных чисел,

при ₁= ; ₁=2; при ₂=1– ; ₂=2(1–).

для частного случая требуется вычислить только  и . Используем для этого МПФ. Определяем m₁.

л

1- 2(1-)

Подставим вместо m₁ его оценку m₁^*, вычисленную по экспериментальным данным:

Определим второй начальный момент:

Откуда Таким образом, получили расчетные формулы для вычисления двух параметров частного случая гиперэкспоненциального закона. Покажем на рис.12.4 в графическом виде функции плотности распределений случайных чисел распределенных по гиперэкспоненциальным законам.

Использование гиперэкспоненциального закона расширяет возможности экспоненциального закона, распространяя область его применения выше линии экспоненциального закона так, как это показано на рис.12.5. Для построения графика использована следующая математическая зависимость:

.

Область существования гиперэкспоненциального закона распределения случайных чисел

При =0,6 и при m₁=1, σ=1.04. m₁=6, σ=6.25.

При =0,9 и при m₁=0.5, σ=1,07. m₁=2, σ=4.28.

Ввиду того, что  и  являются непрерывными количественными величинами, то область существования такого частного случая гиперэкспоненциального закона находится выше экспоненциального закона непрерывно, то есть любая точка 2-х мерного пространства m1, σ может быть представлена таким распределением. Для рассмотренного частного случая можно получить расчётные формулы по упрощенной процедуре. Представим формулу для вычисления математического ожидания гиперэкспоненциального закона −m₁ в виде суммы математических ожиданий его ветвей с учётом их вероятностей, проведём преобразование и заменим математическое ожидание его оценкой m₁^*, вычисленной по экспериментальным данным:

, .

Получили такую же формулу как

Представим формулу для вычисления второго начального момента гиперэкспоненциального закона –m₂ в виде суммы вторых начальных моментов его ветвей с учётом их вероятностей и проведём её преобразование:

Проведём преобразование и составим квадратное уравнение:

Решим полученное квадратное уравнение, проведём преобразование решения и заменим моменты их оценками, вычисленными по экспериментальным данным, с учётом, что