18. Особенности изучения нумерации целых неотрицательных чисел в пределах 100 в различных системах.

/. Основные понятия математики

Числа, изображенные одной цифрой (0, 1, 2, ..., 9), называются однозначными, двумя цифрами (11, 12, 13, ..., 99) - двузначными, тремя цифрами (100, 101, 102, ..., 999) - трехзначными ит. д. Натуральные чис­ла, у которых все цифры, кроме первой (слева), нули, называются круглы­ми числами. Гак, числа 10, 90,200,3000 - круглые.

Числа 1, 10, 10¹, ..., 10" называют разрядными единицами соответст­венно первого, второго, ..., п + 1 разряда, причем 10 единиц одного разряда составляют одну единицу следующей) высшего разряда, т. е. отношение еди­ниц соседних разрядов равно 10. Это и есть основание системы счисления.

Каждые три последовательных разряда объединяются в классы с со­ответствующими единицами. Все числа меньше тысячи образуют первый класс, или класс единиц. В первый класс входят единицы, десятки и сотни. Единицей второго класса является тысяча (это класс тысяч). Его образуют четвертый, пятый и шестой разряды. Этот класс включает в себя единицы тысяч, десятки тысяч и сотни тысяч. Третий класс - класс миллионов, четвертый класс класс миллиардов и т. д. Выделение классов создает удобство для записи и чтения чисел. Если натуральное число разбито на классы, то его название сводится к указанию единицы в каждом классе.

Нумерация чисел в пределах 100 и четыре арифметических действия над ними выделяются в особый концентр по следующим причинам.

\ Здесь учащиеся знакомятся с новой счетной единицей - десятком -

Гн с важнейшим понятием десятичной системы счисления - понятием раз­ряда. Усвоение принципов образования, названия и записи двухзначных чисел - основа для усвоения устной и письменной нумерации чисел за пределами сотни.

Под устной нумерацией понимают способ называния каждого нату­рального числа с помощью немногих слов.

Устная нумерация включает в себя следующие вопросы:

введение новой счетной единицы и применение ее для счета предметов;

введение названий новых разрядов;

рассмотрение образования числа из единиц разных разрядов, а также путем прибавления к предыдущему единицы и вычита­ния из последующего единицы;

для некоторых групп чисел установление их последовательности и сравнение;

установление аналогий с единицами измерения величин.

Письменная нумерация включает в себя вопросы:

обучение чтению и записи чисел, рассмотрение и других вопро­сов, связанных с этим;

формирование умения представлять число в виде суммы разряд­ных слагаемых;

изучение случаев сложения и вычитания, основанных на знании

нумерации.

Г1р традиционной программе при изучении любой группы чисел вначале изучается устная нумерация, а затем письменная.

В изучении нумерации выделяются две ступени: сначала изучается ну­мерация чисел 11—20, а затем чисел 21100. Такой порядок изучения обу­словлен тем, что названия чисел второго десятка образуются из тех же слов, что и названия разрядных чисел (20, 30,..., 90). Однако слона два, три, пять и т. д. в числительных две-на-дцать, три-па-дцать и т. д. обозначают число единиц, а в числительных два-дцать, три-дцать и т. д. обозначают число десятков, исключение составляют числительные «сорок» и «девяносто»,но 10 штук пучки палочек, связки палочек и т. д. Затем вводится поня­тие десяток: десять предметов образуют десяток.

Работу па уроке по введению чисел от 11 до 20 можно организовать так. Учитель спрашивает: «Как получилось число, следующее за числом 10?». Уче­ники отвечают: «К 10 прибавить 1». «На десять предметов - десяток - кладется еще один предме т. Сколько сейчас предметов?».

Получив ответ: «Одиннадцать», учитель обращает внимание на структуру этого слова: одип-иа-дцатъ, указывая, что «дцать» является сокращением слова «десять». В переводе с древнерусского «одинна­дцать;) означает «один сверх десяти». Подобным образом вводятся все числа до 19 Дети получают представление об образовании чисел от 11 до 19, одновременно уясняя порядок их следования. Наконец, вводится чис­ло 20. Имея один деся ток предметов и еще 9 предметов, учитель добавля­ет к [/им один предмет, зачем объединяет новые десять предметов в но­вый десяток и спрашивает у учащихся, сколько получилось десятков. Затем изучается десятичный состав этих чисел.

После усвоения учащимися устной нумерации приступают к изуче­нию письменной нумерации. Ознакомление учащихся с позиционным принципом записи чисел второго десятка осуществляется с помощью абака, представляющего собой таблицу с двумя рядами карманов: один ряд предназначен для палочек, другой - для цифр. В дальнейшем при изучении нумерации используют таблицу разрядов с надписями справа палево: «единица», «десятки», а также таблицу с двумя подвижными лен­тами, па которых записаны цифры.

Обозначив число с помощью палочек или кружочков, следует выяс­нить с детьми:

сколько «сего палочек; сколько десятков; сколько отдельных палочек;

какую цифру надо взять, чтобы обозначить количество десятков; какую цифру надо взять, чтобы обозначить количество единиц.

Здесь же начинается работа по формированию у детей понимания того, что значение каждой цифры в записи числа зависит от того, какое место оно занимает в этой записи. С этой целью перед детьми необходимо постоянно ставить вопросы: «Сколько цифр использовали для обозначения числа?», «Какие это цифры?», «Что обозначает каждая из этих цифр? Почему?».

Здес1, мы впервые встречаемся со случаями сложения и вычитания, основанными на знании разрядного состава числа. При рассмотрении слу­чаев сложения и вычи тания, основанных на знании нумерации (10 + 3=13, 13 3 10, 13 10 - 3), с учащимися необходимо разобрать ход рассужде­ний для каждого из приведенных случаев:

10 + 3=13(10 - это один десяток и еще три единицы; получится

число 13);

13 — 3 = 10 (13 - это один десяток и три единицы, вычитаем три единицы, получаем один десяток, или десять);

13-10 = 3(13 - один десяток и три единицы, вычитаем один де­сяток, получаем три единицы).

Проведя с детьми наблюдение над числами, ранее изученными и но­выми, следует подвести детей к выводу о том, что для обозначения каждого из чисел от 0 до 9 используется только одна цифра, один знак, поэтому их называют однозначными, а для обозначения чисел от 10 до 20 используется по две цифры, по два знака, поэтому их называют двузначными.

Методика изучения нумерации чисел от 21 до 100

При изучении этой группы чисел учитель продолжает решать задачи по формированию у детей умений читать, записывать и сравнивать числа, но уже в пределах 100, усвоив при этом названия и их последовательность.

Сначала изучается устная нумерация, затем письменная. Изучение уст­ной нумерации начинается с продолжения работы по введению новой счет­ной единицы «десяток» и использование ее для пересчета объектов. С этой целью учитель может использовать счетные палочки, полоски с кружочками или квадратиками по 10 в каждой и другие пособия, которые должны быть как у учителя, так и у учащихся.

В результате такого счета получаются новые для детей числа (20, 30, 40 и т. д.). Необходимо рассмотреть, как образуются их названия: два­дцать, пять-десят и другие, выделив сорок и девяносто Затем учителю предстоит показать детям, что числа могут состоять из какого-то количе­ства десятков и единиц, т. е. раскрыть принцип образования двузначных чисел из единиц разных разрядов и учить давать им названия. В помощь детям необходимо также использовать различные средства обучения.

В ходе беседы дети подводятся к выводу, что надо в первую очередь посчитать десятки и добавить число отдельных единиц, т. е. чтобы на­звать двузначное число, надо сначала назвать число десятков, а затем - число единиц. Уделяется внимание и разрядному составу двузначных чисел. Здесь же следует предлагать детям задания, в ходе выполнения которых они учатся получать последующее и предыдущее число по от­ношению к данному, а также называть различные отрезки натурального ряда чисел в пределах 100 в прямом и обратном направлениях.

При изучении письменной нумерации продолжается работа (начатая еще при изучении чисел от 11 до 20) по формированию у детей умения читать и записывать двузначные числа. Здесь следует вспомнить, как за- исываются знакомые уже детям двузначные числа. Опираясь на эти мения, а также умения называть двузначные числа и определять их со- тав, необходимо продолжить работу и подвести детей к общему выводу том, что в двузначном числе единицы пишутся на первом месте, а де- ятки - на втором, считая справа налево. Усвоению этого вывода будет пособствовать выполнение детьми достаточного количества упражнений выяснением вопросов следующего вида:

Прочитайте числа 35, 53,44.

Чем они похожи и чем отличаются?

Сколько в каждом из них десятков? Сколько единиц?

Сколько цифр использовали для обозначения каждого из чисел?

Что обозначает отдельно цифра в записи каждого числа?

Сколько различных двузначных чисел можно написать, исполь- уя цифры 3, 8,2 и др.?

С этой же целью целесообразно практиковать упражнения, которые дети ыполняют, работая с таблицей, содержащей две подвижные ленты с цифрами.

Следует продолжать работу и по формированию у детей умения по­учать число, следующее за данным и предшествующее ему, называть »трезки натурального ряда чисел в пределах 100.

Случаи сложения и вычитания чисел, основанные на знании разряд- юго состава чисел (50 + 3, 53 - 3, 53 - 50), рассматриваются аналогично ому, как это делалось для чисел в пределах 20. И здесь в помощь детям ;ледует использовать карточки с разрядными числами.

Усвоение нумерации чисел - процесс длительный, поэтому работа то совершенствованию знаний и умений детей должна продолжаться \ при изучении следующих тем.