26. Некоторые законы распределения непрерывных случайных величин: нормальное распределение.
Нормальное распределение (распределение Гаусса)
где 
-
функция Лапласа;
Нормальное
распределение.
Говорят,
что случайная величина 
нормально
распределена или
подчиняется закону
распределения Гаусса,
если ее плотность распределения 
имеет
вид
|
(28) |
где a -
любое действительное число, а 
>0.
Смысл параметров a и
будет
установлен в дальнейшем (см.
§4, п. 2).
Исходя из связи между плотностью
распределения
и
функцией распределения F(x) [см.
формулу (22)],
имеем
График
функции
симметричен
относительно прямой x=a.
Несложные исследования показывают, что
функция
достигает
максимума при x=a,
а ее график имеет точки перегиба
при 
и 
.
При 
график
функции асимптотически приближается
к оси Ox.
Можно показать, что при увеличении
кривая
плотности распределения становится
более пологой. Наоборот, при
уменьшении
график
плотности распределения сжимается к
оси симметрии. При a=0 осью
симметрии является ось Oy.
На рис. 11 изображены два графика
функции y=
.
График I соответствует
значениям a=0,
=1,
а график II -
значениям a=0,
=1/2.
Покажем, что функция удовлетворяе условию (24), т.е. при любых a и выполняется соотношение
В
самом деле, сделаем в этом интеграле
замену переменной, полагая 
.
Тогда
В силу четности подинтегральной функции имеем
Следовательно,
Но,
В результате получим
|
(29) |
Найдем
вероятность 
.
По формуле (23)
имеем
Сделаем
в этом интеграле замену переменной,
снова полагая
.
Тогда 
, 
и
|
(30) |
Как
мы знаем, интеграл 
не
берется в элементарных функциях. Поэтому
для вычисления определенного интеграла
(30) вводится функция
|
(31) |
называемая интегралом вероятностей. Для этой функции составлены таблицы ее значений для различных значений аргумента (см. табл. II Приложения). Используя формулу (31) получим
Итак,
|
(32) |
Легко
показать, что функция Ф(х) (интеграл
вероятностей) обладает следующими
свойствами.
1°. Ф(0)=0
2°. 
;
при 
величина 
практически
равна 1/2 (см.
табл. II).
3°. Ф(-x)=-Ф(х),
т.е. интеграл вероятностей является
нечетной функцией.
График
функции Ф(х) изображен
на рис. 12.
Таким
образом, если случайная величина
нормально
распределена с параметрами a и
,
то вероятность того, что случайная
величина удовлетворяет неравенствам 
,
определяется соотношением
(32).
Пусть
>0.
Найдем вероятность того, что нормально
распределенная случайная величина
отклонится
от параметра a по
абсолютной величине не более, чем на 
,
т.е. 
.
Так
как неравенство 
равносильно
неравенствам 
,
то полагая в соотношении (32) 
, 
получим
Вследствие того, что интеграл вероятностей - нечетная функция, имеем
|
