25. Некоторые законы распределения непрерывных случайных величин: экспоненциальное распределение.

Экспоненциальное распределение и его свойства

Экспоненциальное распределение играет важную роль в задачах телекоммуникации, так как позволяет моделировать интервалы времени между наступлением событий.

Из экспоненциальных величин строятся другие важные величины, например, случайные величины, имеющие распределение Эрланга.

Мы говорим, что случайная величина   имеет экспоненциальное (показательное) распределение, если

        (0)

Пусть  -  время ожидания события, тогда из формулы (0) следует, что вероятность того, что это событие наступит раньше x равна   . Этот удобный формализм позволяет описывать моменты возникновения случайных событий.

Параметр λ оценивается на основе реальных данных.

Плотность экспоненциального распределения имеет вид

,     (1)

где λ>0 —положительная постоянная, называемая параметром экспоненциального распределения.

Заметьте, экспоненциальное распределение сосредоточено на положительной полуоси.

Экспоненциальная случайная величина принимает положительные значения.

Среднее значение   равно 

Дисперсия   равна  

Из формулы (0) следует:

Иными словами, вероятность того, что следующее событие наступит через время больше  , равна 

Основные свойства экспоненциального распределения

1. Отсутствия последействия.

Пусть    — экспоненциальная случайная величина с плотностью вида (1).

Тогда        (2)

при всех x≥0 и t≥0.

Равенство (2) означает следующее.

Пусть некоторая элементарная операция (например, телефонный разговор) имеет случайную длительность   с экспоненциальным распределением.

Пусть, далее, известно, что до момента   данная операция продолжалась в течение t единиц времени.

Тогда остаток от момента   до момента окончания операции имеет экспоненциальное распределение с параметром λ независимо от t.

Это важнейшее свойство экспоненциального распределения называется отсутствием последействия.

Отсутствие последействия называется также Марковским свойством.

Именно в силу этого свойства экспоненциальные модели имеют довольно простое аналитическое решение.

2. При малых положительных h       (3)

Действительно, по формуле Тейлора имеем:

.

Равенство (3) можно объяснить так.

Пусть в момент   длится некоторая операция, имеющая случайную длительность с плотностью задаваемой формулой (1).

Тогда вероятность окончания данной операции в данном интервале ( t₀, t₀+h) равна  .

3. Пусть в момент   длятся n операций.

Рассмотрим случайные величины  , где   — время от момента   до момента окончания i-ой фазы из этих операций, 1≤i≤n.

Если величины   независимы и имеют экспоненциальное распределение с параметрами  , 1≤i≤n, то:

а)   имеет экспоненциальное распределение с параметром  ;

б) если известно, что  , то не зависимо от t≥0  ,        (4)

1≤i≤n

Доказательство.

Имеем

— свойство а) доказано.

Далее,

. 

Однако

В то же время             (7)

Подставим выражения (6) и (7) в равенство (5), получим формулу (4).

Таким образом, утверждение б) также доказано.

4. Пусть выполнены те же условия, что и в формулировке предыдущего свойства.

Обозначим через   число операций, которые закончатся в интервале ( t₀, t₀+h).

Тогда

 ,      (8)

,    (9)

,   (10)

  ,   (11)

Доказательство. Событие (   ) эквивалентно событию  , откуда

,

т.е. справедливость формулы (8) доказана.

Событие (  ) противоположно событию  , откуда

 — получена формула (10).

Далее можно записать  , откуда

— формула (9) доказана.

Наконец,  ,

откуда  .

Подставляя в это равенство соотношения (9) и (10), найдем

.

Справедливость формулы (11) так же установлена.

При доказательстве формул дважды использована формула

.

Разумеется, следует проверить несовместимость событий  .

В рассмотренных случаях она непосредственно очевидна.

5. Пусть выполнены условия предыдущего пункта и в момент окончания i-ой операции начинается одна или несколько новых операций, длительности которых независимы между собой, не зависят от (  ) и имеют экспоненциальное распределение.

Тогда если обозначить через    общее число операций (длившихся в момент t₀ и начавшихся в интервале ( t₀, t₀+h)), которые закончились до момента t₀+h, то справедливы формулы (8) - (11).

Для доказательства, в дополнении к предыдущему, остаточно заметить, что событие (  ) сводится к выполнению одного или конечного числа неравенств вида  , где  ,   — независимые экспоненциально распределенные величины.

Имеем  ,

где   — параметры распределения  ,  . Отсюда же следует что  .

6. Пусть операция начинается в момент t₀ и состоит в выполнении некоторой случайной работы  , причем темп выполнения работы в момент t равен ά(t), t≥t₀ , где ά(t) — интегрируемая неотрицательная функция.

Обозначим через   время от момента t₀ до момента окончания операции.

Тогда если случайная величина   распределена по экспоненциальному закону с параметром λ, то

      (12)

Доказательство.

За время от t₀ до t₀+t может быть выполнено   ,    ед. работы.

Значит, операции закончится за время, меньше t, при условии что  .

Таким образом,

.