14. Прохождение микрочастицы через потенциальный барьер. Туннельный эффект.

Прохождение частиц через полубесконечный потенциальный барьер высотой U₀ (E < U₀)

Если энергия частицы недостаточна для преодоления барьера,

E < U₀, то в некоторой точке x₁ частица, движущаяся слева направо, останавливается и затем движется в обратном направлении. То есть потенциальный барьер является как бы непрозрачной стенкой, барьером, для частиц с энергией, меньшей высоты потенциального барьера.

В квантовой механике, в отличие от классической, возможно прохождение через потенциальный барьер частиц с энергией

E < U_{0 .} Такие особенности поведения частиц в квантовой физике непосредственно связаны с корпускулярно-волновой природой микрочастиц.

13. Прохождение частиц через полубесконечный потенциальный барьер высотой U₀ (E > U₀)

В классической механике прохождение частицы через потенциальный барьер возможно лишь в том случае, если её полная (кинетическая + потенциальная) энергия E превышает высоту потенциального барьера: E > U₀; тогда частица пролетает над барьером.

В квантовой механике, в отличие от классической, возможно отражение от потенциального барьера. частиц с энергией E > V₀ .

Такие особенности поведения частиц в квантовой физике непосредственно связаны с корпускулярно-волновой природой микрочастиц.

14. Туннельный эффект. Коэффициент прозрачности барьера

Туннельный эффект - преодоление микрочастицей потенциального барьера в случае, когда её полная энергия (остающаяся при туннелировании неизменной) меньше высоты барьера. Туннельный эффект — явление исключительно квантовой природы, невозможное в классической механике; аналогом туннельного эффекта в волновой оптике может служить проникновение световой волны внутрь отражающей среды (на расстояния порядка длины световой волны) в условиях, когда, с точки зрения геометрической оптики, происходит полное внутреннее отражение.

Коэффициент прозрачности барьера D:

Коэффициент прозрачности характеризует вероятность прохождения частицы сквозь барьер. Эта вероятность очень сильно зависит от толщины барьера d: чем толще барьер, тем меньше вероятность туннельного эффекта.

15. Гармонический осциллятор. Квантовомеханическое описание атома водорода.

Гармонический осциллятор (в классической механике) — это система, которая при смещении из положения равновесия испытывает действие возвращающей силы  , пропорциональной смещению   (согласно закону Гука):

где   — коэффициент жёсткости системы.

Если   — единственная сила, действующая на систему, то систему называют простым или консервативным гармоническим осциллятором. Свободные колебания такой системы представляют собой периодическое движение около положения равновесия (гармонические колебания). Частота и амплитуда при этом постоянны, причём частота не зависит от амплитуды.

Если имеется ещё и сила трения (затухание), пропорциональная скорости движения (вязкое трение), то такую систему называют затухающим или диссипативным осциллятором. Если трение не слишком велико, то система совершает почти периодическое движение — синусоидальные колебания с постоянной частотой и экспоненциально убывающей амплитудой. Частота свободных колебаний затухающего осциллятора оказывается несколько ниже, чем у аналогичного осциллятора без трения.

Если осциллятор предоставлен сам себе, то говорят, что он совершает свободные колебания. Если же присутствует внешняя сила (зависящая от времени), то говорят, что осциллятор испытывает вынужденные колебания.

Важнейший постулат Н.Бора был сформулирован так: "Двигаясь по дозволенным орбитам в атоме водорода, электрон не излучает и не поглощает энергии". Но  это противоречило классической электродинамике. Если классическая электродинамика не применима к атомам, то надо создавать механику для электронно-ядерных систем атомных масштабов, т.е. надо создавать квантовую механику.

Такая механика была создана усилиями двух независимых групп ученых: В.Гайзенберг и М.Борн в Германии основное уравнение квантовой механики записали в матричной форме, а Э.Шредингер (который по существу лишь завершил большую предварительную работу, проделанную Л.Больцманом, М.Планком, А.Энштейном и Луи де Боройлем) предложил уравнение, учитывающие не только все электростатические взаимодействия электронно-ядерных систем, но и волновые свойства электронов.

Одним из важнейших современных методов исследования строения атомов и молекул является квантовая механика. Пусть, например, нас интересует строение атома водорода и ионов He+, Li2+, Be3+ и т.д., т.е. одноэлектронных и одноядерных систем. Для того чтобы решить эту задачу квантовая механика  должна записать Уравнение Шредингера для этой системы и решить его. Прежде всего необходимо учесть потенциальную энергию взаимодействия всех составных частей системы, в нашем случае электрона и ядра:

Волновые свойства электрона Уравнение Шредингера учитывает автоматически. Математики задолго до 1926 г. изучили дифференциальные уравнения подобного типа и тщательно разработали методы их решения. Исходя из физического смысла решаемой задачи нужно потребовать, чтобы волновая функция, характеризующая всю совокупность свойств рассматриваемой электронно-ядерной системы, была непрерывной, конечной и однозначной. Это уравнение решается, если некоторые параметры n, l, m (квантовые числа) принимают определенные целочисленные значения.

Главное квантовое число - n - может принимать значения 1, 2, 3, ..., оно характеризует электронный слой, в котором находится электрон, энергию электрона в этом слое, размеры пространства, в котором движется электрон, проявляя свои волновые свойства.Второе квантовое число - l называют побочным или орбитальным квантовым числом. Оно характеризует орбитальный момент количества движения электрона при его движении в слое n и может принимать численные значения 0, 1, 2, ... и вплоть до максимального n-1. Чтобы было удобно выражать сразу набор квантовых чисел n и l, для последнего вместо чисел 0, 1, 2, 3, ... часто используются буквенные эквиваленты s, p, d, f, ... Так, сочетание 1s означает, что n=1, а l=0. Если n=2, а l=1, то пишут 2p. l характеризует форму орбитали, на которой находится электрон. Так, s-орбитали имеют форму шара,

p-орбитали имеют форму двух шаров, которые касаются друг друга в точке, где расположено ядро. Эти шары иногда изображают сильно вытянутыми и говорят, что p-орбиталь имеет форму гантели.

d-орбиталь имеет достаточно сложную пространственную форму, получаемую при перпендикулярном расположении двух гантелей.

 Третье квантовое число - m называют магнитным. Оно определяет пространственную ориентацию момента количества движения электрона и принимает значения -l, -l+1, ..., 0, 1, ..., l, а всего 2l+1 значений.

Если для атома водорода решать не Уравнение Шредингера, а более точное уравнение Дирака, то появляется еще одно квантовое число - спиновое, которое может принимать всего два значения +1/2(a) и -1/2(b) и характеризует всего две возможные ориентации в пространстве собственного момента количества движения электрона (спина). Для изображения этого квантового числа часто используют стрелки, направленные вверх или вниз.

Итак, все множество решений уравнений квантовой механики для атома водорода можно свести в таблицу. Может ли атомарный водород находиться в любом из тех состояний, которые представлены в этой таблице? Да, может. Атомы водорода с одинаковой вероятностью могут находиться в любом из этих состояний? Нет. В земных условиях, в межзвездном пространстве наиболее стабильным для водорода является состояние с минимальной энергией, т.е. 1s-состояние. Может ли атом водорода переходить из одного состояния в другое? Да, может. Что происходит при таком переходе? По мере увеличения значения главного квантового числа энергия атома возрастает. Поэтому в солнечной атмосфере или в разрядной трубке при прохождении электрического тока атомы водорода могут переходить из основного 1s состояния в возбужденные: 2s, 2p, 3s, 3p, 3d, 4s, 4p, 4d, 4f и т.д. Время жизни в возбужденных состояниях очень мало и, испуская квант света hn, который уносит избыточную энергию, атом водорода возвращается в менее возбужденные состояния, или в 1s-состояние.