Законы:

1. Момент пары трения качения при покое может иметь различные значения от нуля до максимальной величины. 0

2. Максимальный момент пары трения качения пропорционален нормальному давлению. где k – коэффициент трения качения.

(6)Центр тяжести – называется связанная с этим телом точка через которую проходит лини действия равнодействующей сил тяжести действующих на частицы данного тела, при любом положении тела в пространстве. Центр параллельных сил – точка лежащая на линии действия равнодействующей вокруг которой она поворачивается при повороте всех сил на один и тот же угол вокруг своих точек приложения.

Формулы радиус вектора и координат центра параллельных сил.

, ,

Центры тяжести однородных тел часто называют центрами тяжести объема, площади, линии. Формулы

x_c= ,y_c= ,z_c=

x_c= ,y_c= ,z_c= S- площадь всей поверхности, площадь ее части

x_c= ,y_c= ,z_c=

L – длина всей линии, - длина ее части.

Центр тяжести площади треугольника совпадает с точкой пересечения его медиан.

Дуга окружности. x_c=R

Круговой сектор. x_c= R

Сегмент круга. x_c= R

Кинематика точки, способ задания движения точки.

Векторный способ:

При данном способе задаются: 1.система отсчета, 2. радиус вектор, проведенный из некоторой неподвижной точки, например начало координат, и определяющий положение движущейся точки.

При движении точки радиус вектор меняется с течением времени по модулю и направлению и является векторной функцией скалярного аргумента t – времени. Зависимость радиус вектора от времени. -закон и уравнение движения точки. Векторный способ задания движения используется обычно в теории при выводе формул.

Координатный способ.

При данном способе задаются: 1.система отсчета, 2.координаты точки, определяющие её положение.

При движении точки ее координаты меняются с течением времени и зависимости x=f₁(t), y= f₂(t), z= f₃(t) – представляют собой уравнения движения точки в декартовых координатах.

Связь векторного и координатного способов. =x(t) +y(t) +z(t) где

X(t), y(t), z(t) – координаты точки

– орты координатных осей.

Естественный способ:

При данном способе задаются: 1.траектория точки, 2. начало отсчета криволинейной координаты s, 3. положительное направление отсчета координаты, 4.зависимость криволинейной координаты, определяющей положение точки, от времени t – s(t). Зависимость s=s(t) – уравнение или закон движения точки по траектории. Функция s(t) является непрерывной, однозначной и дифференцируемой.

Естественные оси координат.

Три оси имеющие начало в точке М и направленные по касательной нормали и бинормали траектории в этой точке, называются естественными осями. и являются ребрами так называемого естественного триэдра, или естественного трехгранника.

Скорость и ускорение точки.

Векторный способ:

= = - вектор скорости точки в данный момент времени равен первой производной по времени от ее радиус вектора и направлен по касательной к траектории в сторону движения.

= или = = . Вектор ускорения точки в данный момент времени равен первой производной от вектора скорости или второй производной от радиус вектора точки по времени.

Координатный способ:

V_x= = V_y= = V_z=

a_x= = a_y= = a_z= =

Проекции скорости (ускорения) точки на декартовы оси координат равны первым (вторым) производным по времени от соответствующих координат точки.

Модуль и направление векторов определяются по известным формулам векторной алгебры:

V=

cos = cos = cos =

a=

cos = cos = cos =

Естественный способ:

- проекция вектора скорости на касательную равна первой производной от дуговой координаты по времени. Модуль скорости V= =

Касательное и нормальное ускорение точки.

Проекции ускорения на естественные оси координат:

-касательную = =

- главную нормаль =

- бинормаль a_b=0

- модуль a=

- направление tg = где угол между ускорением и главной нормалью.

(8)Сложное движение точки:

Абсолютное движение объекта(точки, тела) называют движение его относительно основной системы. Его видит неподвижный наблюдатель 1.

Относительным движением объекта называют движение его относительно подвижной системы. Его видит наблюдатель 2, находящийся в подвижной системе.

Переносным движение называется движение подвижной системы отсчета относительно основной.

Характеристики:

Абсолютное движение абсолютная скорость, ускорение и траектория.

Относительное движение относительная скорость, ускорение и траектория.

Переносное движение

Переносной скоростью и переносным ускорением точки называют скорость и ускорение той точки подвижной системы отсчета, с которой в данный момент времени совпадает движущаяся(изучаемая) точка.

Теоремы о сложении скоростей и ускорений.

Теорема о сложении скоростей точки.

При сложном движении точки абсолютная скорость равна сумме ее переносной и относительной скоростей.

Теорема о сложении ускорений.

При поступательном переносном движении абсолютное ускорение точки равно сумме ее переносного и относительного ускорений.

Теорема Кариолиса.

При непоступательном переносном движении абсолютное ускорение точки равно сумме трех ускорений: переносного, относительного и добавочного, поворотного ускорения. Это добавочное ускорение называют ускорение Кариолиса(Кариолисовым ускорением).

Модуль Кариолисова ускорения определяется как модуль векторного произведения: = 2 sin( )

Направление Кариолисова ускорения можно определять двумя способами:

1. По правилу векторного произведения. 2.По правилу Жуковского.

Правило векторного произведения

1.Вектор угловой скорости условно переносим в точку М. 2.Через векторы проводим плоскость. 3.Вектор направлен перпендикулярно плоскости в ту сторону, откуда поворот от вектора к вектору на наименьший угол кажется происходящим против хода часовой стрелки.

Правило Жуковского:

1. Проводим через точку М плоскость П, перпендикулярную оси переносного вращения(в этой плоскости лежит вектор ). 2.Проецируем относительную скорость на эту плоскость. 3. Поворачиваем полученную проекцию ’ на угол 90⁰ в сторону переносного вращения – это и будет направление кариолисова ускорения.

Причины появления ускорения Кариолиса при непоступательном движении:1.Вследвтвии непоступательного переносного движения дополнительно изменяется направление относительной скорости точки по отношению к основной системе отсчета, что не учитывается относительным ускорением. 2. Вследствие относительного движения точки по отношению к подвижной системе координат дополнительно изменяется величина переносной скорости, что не учитывается переносным ускорением.

(9)Поступательное движение – это движение при котором любая прямая, взятая в теле, остается во все время движения параллельной своему первоначальному положению.

Теорема. При поступательном движении тела. Все точки его описывают одинаковые, параллельно расположенные траектории и имеют в каждый момент времени геометрически равные скорости и ускорения.

Вращение тела вокруг оси называется движение тела имеющего две неподвижные точки.

Уравнение движения =

Угловая скорость , или

угловая скорость тела равна первой производной от угла поворота тела по времени. Вектор является скользящим

Угловое ускорение

Угловое ускорение численно равно первой производной от угловой скорости или второй производной от угла поворота по времени.

Скорости и ускорения точек вращающегося тела.

=

Модуль скорости V=Rω

Вектор скорости направлен по касательной к траектории окружности в сторону вращения и будет перпендикулярен радиусу.

Ускорение точки равно сумме касательного и нормального(вращательного и центростремительного) ускорений.

= =R

= =R

=R

Модуль нормального ускорения =R

Модуль ускорения a= или a=

Обозначим – угол, образованный ускорением с радиусом окружности. Тогда tgα=

Вектор скорости точки вращающегося тела равен векторному произведению вектора угловой скорости тела на радиус вектор точки, проведенный из любой точки оси вращения. Эта формула называется векторной формулой Эйлера.

=

=

Ускорение точки равно сумме касательного и нормального ускорений.

Плоскопараллельное движение тела –такое движение при котором все точки тела движутся в плоскостях, параллельных некоторой неподвижной плоскости.

Движение плоской фигуры.

X_A=X_A(t), Y_A=Y_A(t), = (t) – однозначные непрерывные и дифференцируемые функции времени

Разложение движения.

Теореме о скоростях точек плоской фигуры.

Скорость любой точки плоской фигуры равна геометрической сумме двух скоростей: скорости полюса и вращательной скорости этой точки вокруг полюса.

Доказательство:

Рассмотрим движение плоской фигуры как сложное составленное из переносного поступательного вместе с полюсом и относительного вращательного вокруг этого полюса. Абсолютная скорость произвольной точки В фигуры на основании теоремы о сложении скоростей точки будет определятся как геометрическая сумма скоростей складываемых движений:

Но так как переносное движение поступательное, то переносная скорость любой точки равна скорости полюса Относительное движение является вращательным. Обозначим скорость во вращательном движении то есть скорость точки В во вращении вокруг полюса А. Тогда = , причем = = и вектор направлен перпендикулярно отрезку АВ в сторону относительного вращения. Таким образом Эта формула дает распределение скоростей точек плоской фигуры.

Следствие: Проекции скоростей 2-х точек плоской фигуры на ось, проходящую через эти точки, равны между собой.V_Acosα=V_Bcos

Мгновенный центр скоростей(МЦС).

При непоступательном движении плоской фигуры существует единственная точка этой фигуры(или плоскости, жестко связанной с ней), у которой абсолютная скорость равно нулю. Эту точку называют мгновенным центром скоростей.

Следствия: 1.V_M=ωMP – модуль скорости любой точки равен произведению угловой скорости фигуры на расстояние от рассматриваемой точки до МЦС.2. Скорости точек перпендикулярны расстояниям (отрезкам) до МЦС т.е. MP. 3.Модули скоростей точек пропорциональны расстояниям до МЦС.

Определение положение МЦС.

1.Известны скорость точки и угловая скорость тела ω. Положение МЦС определяется так: повернуть вектор на прямой угол в сторону вращения и отложить отрезок AP=

2. Известны направления скоростей двух точек фигуры. Для определения положения МЦС нужно провести перпендикуляры к скоростям данных точек. Пересечение из дает точку Р(МЦС)

.

3.Если направления скоростей 2-х точек плоской фигуры параллельны, а перпендикуляры к ним сливаются, то для нахождения МЦС нужно знать модули этих скоростей. Тогда используя свойство можно построить точку Р, как указанона рисунке.

4. Если скорости заданных точек параллельны, а перпендикуляры к ним также параллельны(не совпадают друг с другом), то в этом случае МЦС нет. Угловая скорость равна нулю ω=0, скорости точек равны по модулю V_Acosα=V_Bcos . Такое состояние плоской фигуры называют мгновенно поступательным.

5. Качение без скольжения по неподвижной поверхности, например колесо трамвая катится по рельсу без скольжения. В этом случае точка контакта плоской фигуры S с неподвижной кривой будет иметь скорость, равную нулю, т.е эта точка будет МЦС.

Теорема об ускарениях точек плоской фигуры.

Ускорение любой точки плоской фигуры при плоском движении равно векторной сумме ускорения полюса и ускорения точки во вращательном движении вокруг полюса.

= AB, = ω²AB, =AB

tgα=

Определение угловой скорости и углового ускорения плоской фигуры.

1. Если задан закон вращательного движения плоской фигуры = , то ,

2. Если известны скорость и ускорение точки А и положение МЦС(точки Р), то

,

В частном случае когда АР константа расстояние до МЦС не меняется в процессе движения, угловое ускорение определяется по формуле

3.Улловую скорость можно найти по относительной скорости точки во вращении вокруг полюса(без МЦС):

ω=

Аналогично можно получить угловое ускорение.

(10)Сложение поступательных движений.

Теорема.

Если тело находится в двух одновременных поступательных движениях – относительном и переносном, то абсолютное движение тела будет поступательным и его скорость будет равна геометрической сумме скоростей относительного и переносного движений: