Билет 17. Условие сходимости тригонометрического ряда Фурье в точке. Сходимость ряда Фурье кусочно-гельдеровой функции.

f удовлетворяет в точке x0 условию Гельдера порядка a (a Є (0, 1]) справа (слева), если существует f(x0+0), существует c1, δ1 > 0: |f(x0+t) – f(x0 + 0)| < c1t^a, t Є (0, δ1) (f(x0 -0), c2, δ2 > 0: |f(x0 + t) – f(x0- 0)| < c2|t|^a, t Є (-δ2, 0). Замечание: если f(x) диф-ма в точке x0, то она удовлетворяет в точке x0 условию Гельдера порядка 1: lim<t0>[f(x0 + t) – f(x0)]/t = f’(x0)  |f(x0 + t) – f(x0)| <= (|f’(x0)| + 1)|t| при |t| < δ. Т14 Если f – 2п-периодична, f Є L2R[-п, п], в точке x0 функция удовлетворяет условию Гельдера порядка a1 справа и a2 слева (a1, a2 Є (0, 1]), тогда ТРФ функции f(x) сходится в точке x0 к (1/2)[f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]. Док-во: пусть a = min(a1, a2)  f удовлетворяет условию Гельдера в точке x0 и слева и справа. Dn(t) = sin(n+1/2)t/(2sin(t/2)), Dn(-t) = Dn(t). Мы доказывали, что 1/п$<-п, п>Dn(u)du = 1  1/п$<-п, 0>Dn(t)dt = 1/п$<0, п>Dn(t)dt = 1/2 1/п $<-п, п> Dn(t)dt = ½. Sn(f, x) = 1/п$<-п, п>f(x0 + п)Dn(t)dt, Sn(f, x) – ½[f(x0+0) – f(x0-0)] = 1/п$<-п, п>f(x0 +t)Dn(t) – 1/п$<0, п>f(x0 + 0)Dn(t)dt – 1/п$<-п, 0>f(x0 – 0)Dn(t)dt = 1/п$<0, δ>[f(x0 + t) – f(x0 + 0)]Dn(t)dt + 1/п$<-δ, 0>[f(x0 + t) – f(x0 – 0)]Dn(t)dt + 1/п$<δ<=|t|<=п>(f(x+t) – [f(x0 + 0) + f(x0 – 0)]/2)Dn(t)dt = In1 + In2 + In3. Используя факт sin(t/2) >= t/п, t Є [0, п]  |Dn(t)| <= 1/[2|t|/п] = п/[2|t|], t Є [-п, п]. Из условия Гельдера: |I1n| <= c/2$<0, δ>t^(a-1)dt = c/2δ^a/a < eps/3, (δ = δ(eps)). Второй аналогично. I3  0 – первая лемма Б18, тк подынтегральная функция 2п периодична, и принадлежит L2R[-п, п]. Значит Существует N = N(eps): |In3| < eps/3. Те получили ЧТД. Функция f называется кусочно-гельдеровой на [-п, п], если существует –п = x0 < x1<…<xn = п, в точках xj существует f(x<j-1> + 0), f(xj – 0), 1 <= j <= n, а функции fj(x) = {f(x), x Є (x<j-1>, xj); f(x<j-1> + 0) x = x<j-1>; f(x<j> - 0) x = xj} удовлетворяют fj Є Caj[x<j-1>, xj], aj Є (0, 1], 1 <= j <= n. Замечание: положим f(п) = f(-п) (замена значения в одной точке). Это не меняет ряда Фурье. Продолжим f(x) периодически на R. Функция удовлетворяет в каждой точке условию Гельдера (соответствующего порядка). Те ТРФ сходится в т xj к ½[f(xj-0) + f(xj + 0)], 1<= j <= n-1, в точках x = +-п к ½[f(п-0) + f(-п + 0)], 1<= j <= n – 1, в остальных точках к f(x). Т16. f – кусочно-гельдерова в обозначениях в определении: [a, b] Є (x<j-1>, xj). Тогда ТРФ функции f(x) сходится равномерно к функции f(x) на [a, b]. Док-во: существует δ > 0 [a, b] Є (xj + 2δ, xj – 2δ). Введем g(x) = {f(x), x Є [x<j-1> + δ, xj – δ]; линейна на [-п, x<j-1> + δ], [xj – δ, п]; g(-п) = g(п) = 0}. ТРФ g(x) сходится по Т15 к g(x) равномерно. Применим следствие из уточненной леммы Римана (Б18) . ЧТД.

Билет 18. Принцип локализации Римана.

Лемма. Пусть f – 2п-периодична, f Є L2R[-п, п], δ Є (0, δ). Тогда Cn(x) = 1/п$<δ <= |t| <= п>f(x + t)Dn(t)dt xЄR0. Док-во: Cn(x) = 1/п$<δ <=|t| <= п>f(x+t)Dn(t)dt = 1/(2п)$<δ<=|t|<=п>f(x+t)(sinntcos(t/2) + cosntsin(t/2))dt/sin(t/2) = разбить на две суммы и воспользоваться последним следствием Б16. ЧТД.

Сходимость (и предел) ТРФ функции f(x) (f- 2п периодична, f Є L2R[-п, п]) в точке x0 зависят лишь от поведения функции f(x) в сколь угодно малой окрестности точки x0. Док-во: Sn(x0, f) = 1/п$<-п, п>f(x0 + t)sin(n+1/2)t/(2sin(t/2))dt = 1/п$<-δ, δ>f(x0+t)sin(n+1/2)t/[2sint/2]dt + Cn(x0), δ Є (0, п). (*). Интеграл учитывает значения функции на [x0 – δ, x0 + δ], Cn(x0)<x0 Є R>0 не играет роли. ЧТД. Лемма (уточненная Римана). Пусть f – 2п периодична, f Є L2R[-п, п], существует [a, b]: f[a, b] тождественно равна 0. Тогда для любого δ Є (0, [b-a]/2) ТРФ функции f(x) равномерно сх-ся к 0 на [a + δ, b – δ]. Док-во: (*) = Sn(f, x) = Cn(x) xЄR0. ЧТД. Следствие: Пусть f1, f2 – 2п периодичны, f1, f2 Є L2R[-п, п], f1(x) = f2(x), для любого x Є [a, b], ТРФ функции f1(x) сходится равномерно на [a, b]. Тогда для любого δ Є (0, (b – a)/2) ТРФ функции f2(x) сходится равномерно к f1(x) на [a + δ, b – δ]. Док-во: Sn(f2, x) = Sn(f1, x) + Sn(f2 – f1, x), Sn(f1, x) f1(x), Sn (f2-f1, x)0  Sn(f2, x)f1(x) (как сумма двух равномерно сходящихся последовательностей. Замечание: из равномерной сходимости на [a, b] следует равномерная сходимость на любом [c, d] Є (a, b).