Билет 12. Теорема Фейера.

Тригонометрическая система в L2R[-п, п]: 1/sqrt<2>(п), cosx/sqrt<2>(п), sinx/sqrt<2>(п), cos2x/sqrt<2>(п), sin2x/sqrt<2>(п)… - являестя ОНС. f ~ f0/sqrt<2>(п) + Add<k=1, inf>(fk(1)(coskx/sqrt<2>(п) + fk(2)/sinkx/sqrt<2>(п)) – ряд Фурье по этой системе. {f0 = $<-п, п>1/sqrt<2>(2п)f(x)dx; fk(1) = $<-п, п>1/sqrt<2>(п)f(x)coskxdx; fk(2) = $<-п, п>(1/sqrt<2>(п)f(x)sinkxdx}. Пусть a0 = sqrt<2>(2/п)f0, ak = 1/sqrt<2>(п)fk(1), bk = 1/sqrt<п>fk(2). Тогда f ~ a0/2 + Add<k=1, inf>(akcoskx + bksinkx) – ТРФ. Лемма (об интегрируемости по периоду). Пусть f интегрируема на отрезке [-п, п] и имеет период 2п. Тогда для любого x Є R $<-п-x, п –x>f(t)dt = $<-п, п>f(t)dt. Док-во: разбить на 3 интеграла. ЧТД. f Є L2R[-п, п]. Sn = a0/2 + Add<k=1, n>(akcoskx + bksinkx) – частичные суммы ТРФ. σn(f, x) = [S0(f, x)+…+S<n-1>(f, x)]/n – чезаровские суммы ТРФ. Sn(f, x) = 1/(2п)$<-п, п>f(t)dt + Add<k=1, n>(1/п$<-п, п>f(t)cosktdtcoskx + 1/п$<-п. п>f(t)dinktdtsinkx) = 1/п$<-п, п>f(t)[1/2 + Add<k=1, n>(cosktcoskx + sinktsinkx)]dt =1/п$<-п, п>f(t)[1/2 + Add<k=1, n>cosk(t-x)]dt = {u = t-x, подынтегральная функция периодична} = 1/п$<-п, п>f(u + x)[1/2 + Add<k=1, n>cosku]du. [1/2 + Add<k=1, n>cosku] = {sin(n+1/2)u/[2sin(u/2)], u ≠ 0; n + ½, u = 0}. Можем ограничится только первым случаем, те Sn(f, x) = 1/п$<-п, п>sin(n + ½)uf(u+x)/[2sin(u/2)]du (*). Dn(u) = sin(n+1/2)u/[2sin(u/2)] – ядро Дирихле. Если в (*) подставить для случая f = 1, то получим $<-п, п>sin(n + ½)udu/[2sin(u/2)] = 1. σn(f, x) = 1/nAdd<k=0, n-1>[1/п$<-п, п>Dk(u)f(u + x)du]. Add<k=0, n-1>sin(k + ½)u = sin^2(un/2)/sin(u/2)  σn(f, x) = 1/(пn)$<-п, п>sin^2(nu/2)f(u+x)du/[2sin(u/2)^2] (**). Обозначим Hn = sin(nu/2)^2/[2sin(u/2)^2] – ядро Фейера, тоже доопределено в 0 до непрерывности. Для f = 1 Получаем (1/(пn))$<-п, п>Hn(u)du = 1. Т4 Фейера. Пусть f(x) Є C[-п, п], f(-п) = f(п). Тогда σn(f, x) равномерно на [–п, п] f(x). Док-во: продолжим функцию f с периодом на всю прямую. Так как функция непрерывна и периодична, то она равномерно непрерывна. Те для любого eps > 0 существует δ(eps) > 0 такое, что для любого u Є [-δ, δ], любого вещественного x |f(x + u) – f(x)| < eps/2. Кроме того f(x) ограничена на R числом M. σn(f, x) – f(x) = 1/(пn)$<-п, п>Hn(u)f(u + x)du – f(x)[1/(пn)]$<-п, п>Hn(u)du = 1/(пn)$<-п, п>Hn(u)(f(u+x) – f(x))du = разбить на интегралы от (-δ, δ) и остальной. Первый оценивается из равномерной сходимости и из того, что $<-п, п>Hn(u)du = 1. Второй оценивается из ограниченности , того что Hn(u) < 1/(sin(δ/2)^2, и того, что мы можем выбрать достаточно большой n. ЧТД.

Билет 13. Замкнутость тригонометрической системы. Следствия из замкнутости. Теоремы Вейерштрасса о равномерном приближении непрерывной функции.

ТРМ назовем функцию Tn(x) = c0 + Add<k=1, n>ckcoskx + dksinkx. Т5 первая т Вейерштрасса. Пусть f Є C[a, b]. Тогда f можно на [a, b] можно равномерно приблизить многочленом, те для любого eps > 0 существует P(x) – многочлен: max<x Є [a, b]>|P(x) – f(x)| < eps. Док-во: докажем для частного случая [–п, п], f(п) = f(-п). Тогда для любого eps > 0 существует Tn(x) = c0 + Add<k=1, n>ckcoskx + dksinkx: max<x Є [-п, п]>|T(x) – f(x)| < eps. T(x) – линейная комбинация sinkx, coskx, 0 <= k <= n, каждая из которых представима степенным рядом. T(x) = Add<k=0, inf>akx^k, R = inf. На [-п, п] степенной ряд сходится равномерно по т Абеля. Те существует N, разница меньше eps/2,… получили. Рассмотрим [a, b] = [-п, п], но без условий на значения. Подберем g(x) = f(x) – ax так, что g(-п) = g(п). те a = [f(п) – f(-п)]/[2п]. Тогда из шага 1 получаем. На общий случай отрезка обобщается с помощью линейной замены. ЧТД. Т7. Тригонометрическая система {1/sqrt<2>(2п), cosx/sqrt<2>(п),sinx/sqrt<2>(п)…) замкнута в L2R[-п, п]. Док-во: нужно показать, что для любой f Є L2R[…] для любого eps > 0 существует T(x) – тригонометрический многочлен: ||f – T(x)|| < eps. 1) Существует g1(x) Є C^[…]: ||f – g1|| < eps/3. f интегрируема по Риману, значит она ограничена, существует разбиение, сумма по которому отличается от интеграла меньше чем на e^2/(18M), s = Add<k=1, l>mkΔxk, mk = inf[xk-1, xk]f(x). g1(x) = {mk, x Є (xk-1, xk); [mk + m<k+1>]/2, x = xk, k=1,…,l-1; [m1+m2]/2, x = +-п}. Несложно проверить, что она подходит. Строим g2 Є C[-п, п], g2(-п) = g2(п), ||g2 – g1|| < eps/3. В g2(x) δ окрестности точек разрыва g1(x) заменяем линейными функциями. ТЕ g2(x) = g1(x) вне [-п, -п + δ]U… g2(x) линейна на каждом сегменте, причем g2(x) Є C[-п, п]. Оценка верна. Покажем, что существует T(x) : ||g2 – T|| < eps/3. Для g2 выполнены условия первой Т Вейерштрасса. Из её доказательства можно сказать, что существует тригонометрический многочлен такой, что max<x Є [-п, п]>|g2(x) – T(x)| <= eps/[3sqrt<2>(2п)]. Элементарной проверкой получаем, что подходит. ТЕ ЧТД. Следствия: a0^2 + Add<k=1, inf>(ak^2 + bk^2) = (1/п)$<-п, п>f(x)^2dx, f Є L2R[-п, п] – равенство Парсеваля. lim<ninf>||f(x) – Sn(f, x)|| = 0 (Т2). {Sn(f, x)} сходится к f(x) в среднем на [-п, п]. Для любого [a, b] Є [-п, п] $<a, b>f(x)dx = lim<ninf>$<a, b>Sn(f, x)dx. C^[-п, п] Є L2R[-п, п]  тригонометрическая система замкнута C^[-п, п] и полна (евклидовость) в нем. f, g Є C^[-п, п], f ≠ g. Тогда ряды Фурье для f и g не могут совпадать.