Билет 10. Ортонормированные системы. Задача о наилучшем приближении элемента Евклидова пространства.

Пусть L – линейное пространство над полем R. L называется евклидовым, если для любых x, y Є L  (x, y) Є R: 1) (x, y) = (y, x) 2) (ax + by, z) = a(x, z) + b(y, z) 3) (x, x) >= 0 4) (x, x) = 0  x= 0. Линейное пространство L называется почти евклидовым, если (x, y) удовлетворяет 1 2 3. LR2[a, b] – пространство функций, интегрируемых по Риману на [a, b] со скалярным произведением (x, y) = $<a, b>x(t)y(t)dt. 1)2)3) верно, 4) нет. Линеное пространство над R называется нормированным, если для любого x Є L  ||x|| Є R. 1) ||λx|| = |λ|||x|| 2) ||x + y|| <= ||x|| + ||y|| 3) ||x|| >= 0 4) ||x|| = 0  x = 0. Пространство называется почти нормированным, если 1) 2) 3). Утверждение: Пусть L – почти евклидово пространство. Тогда для любой (x, y) Є L верно |(x, y)| <= sqrt<2>((x, x)(y, y)). Док-во: для любых x, y Є L любого λ Є R (x + λy, x + λy) >= 0 => (x, x) + 2λ(x, y) + λ^2(y, y) >= 0. Если (y, y) = 0, то (x, x) + 2λ(x, y) >= 0 для любого λ Є R  (x, y) = 0. Если (y, y) ≠ 0  D/4 = (x, y)^2 – (x, x)(y, y) <= 0 ЧТД. {hn} – система элементов из почти евклидова пространства называется ортонормированной системой, если (hi, hj) = δij. fЄ L, {hn} – ОНС. Ряд Add<k=1, inf>fkhk, где fk = (f, hk) называется рядом Фурье элементов f по системе {hn}. fk – коэффициенты Фурье. Пусть Ln = {Add<k=1, n>ckhk, c1,…,ck Є R} – линейная оболочка первых n векторов системы. Необходимо найти inf<c1,…,cn>||f – Add<k=1, n>ckhk||. ||f – Add<k=1, n>ckhk||^2 = (f – Add<k=1, n>ckhk, …) = (f, f) – 2Add<k=1, n>ck(f, hk) + (Add<k=1,n>ckhk, Add<k=1, n>ckhk) = ||f||^2 – 2Add<k=1, n>ckfk + Add<k=1, n>ck^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 + Add<k=1, n>fk^2 – 2Add<k=1, n>ckfk + Add<k=1, n>ck^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 + Add<k=1, n>(fk – ck)^2, где fk – коэффициенты Фурье. При Add<k=1, n>(fk- ck)^2 = 0 достигается точная нижняя грань. Т1 inf<c1,..,cnЄ R>||f – Add<k=1, n>ckhk|| = sqrt<2>(||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2) и достигается при ck = fk. Следствие ||f||^2 – Add<k=1, n> >= 0. Следствие: Add<k=1, inf>fk^2 <= ||f||^2 (неравенство Бесселя). Док-во: Add<k=1, n>fk^2 <= ||f||^2  все члены неубывающей последовательности ограничены константой.

Билет 11. Замкнутость и полнота ортонормированных систем.

Пусть {hn} – ОНС в почти евклидовом пр-ве L.{hn} называется замкнутой, если для любого f Є L, любого eps > 0 существует Add<k=1, n>ckhk: ||f – Add<k=1, n>ckhk|| <= eps. Т2 Равенство Парсеваля. Пусть {hn} – замкнута в L. Тодга Add<n=1, inf>fk^2 = ||f||^2. Док-во: выберем коэффициенты так, что ||f – Add<k=1, n>ckhk|| <= sqrt<2>eps. По задаче о наилучшем приближении ||f – Add<k=1, n>fkhk||^2 = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2 < eps. Те для любого eps: Add<k=1, n>fk^2 >= ||f||^2 – eps. По неравенству Бесселя Add<k=1, n>fk^2 <= ||f||^2  ЧТД. Следствие: Для любого f Є L lim<ninf>||f – Add<k=1, n>fkhk> = 0, где {hn} – замкнутая ОНС. Док-во: ||f – Add<n=1, n>fkhk|| = ||f||^2 – Add<k=1, n>fk^2  <ninf>0. ЧТД. Пусть {hn} – ОНС в евлидовом пр-ве L. {hn} – полная, если (f,hi) = 0 для любого i  f = 0. Утверждение: пусть {hn} – полна в L. Тогда для любых f ≠ g существует n: (f,hn) ≠ (g, hn). Очевидно. Т3 Пусть L – евклидово пространство и {hn} – замкнутая ОНС. Тогда {hn} полна в L. Док-во: (f, hn) = fn = 0. Из равенства Парсеваля ||f|| = Add<n=0, inf>fn^2 = 0  f = 0. ЧТД.