
- •1. Теория графов
- •1.1 Остовные деревья минимального веса.
- •Алгоритм Прим
- •Алгоритм Краскал
- •1.2 Нахождение кратчайших путей между двумя заданными вершинами. Алгоритм Дийкстры
- •Алгоритм Дийкстры
- •Модифицированный алгоритм Дийкстры
- •1.3 Нахождение кратчайших цепей между всеми парами узлов в сети
- •Алгоритм Флойда (Floyd r. W.)
- •Модификация алгоритма Флойда
- •1.4 Построение потоков максимальной мощности. Алгоритм Форда-Фалкерсона
- •Алгоритм Форда-Фалкерсона
- •1.5 Обобщенные задачи о потоке
- •1.5.1 Построение потока в сети с двойным ограничением потока по дугам
- •1.5.2 Построение потока в сети с пропускными способностями узлов
- •1.5.3 Построение потока в сети с несколькими источниками-стоками
- •1.5.4 Построение потока в сети с неориентированными ребрами
- •1.6 Определение потока заданной величины минимальной стоимости. Алгоритмы Басакера-Гоуэна, Клейна
- •Алгоритм Басакера-Гоуэна (Basaker r.G., Gowen p.J)
- •Алгоритм Клейна (Klein m.)
- •2 Сетевое планирование
- •2.1 Построение сетевых моделей
- •2.2 Расчет и анализ сетевых моделей
- •Задача №1
- •Задача №2
- •I. Поиск критических путей
- •II. Поиск резервов работ
- •Правило №2.1
- •3 Линейное программирование
- •3.1 Примеры задач лп
- •3.2 Свойства решений задач линейного программирования
- •3.3 Двумерные задачи линейного программирования. Графический метод решения. Исследование на разрешимость
- •3.3.1 Построение области допустимых решений целевой функции f.
- •3.3.2 Построение прямой уровня
- •3.3.3 Максимизация целевой функции f
- •3.4 Симплекс-метод.
- •3.4.1 Построение начального опорного плана.
- •3.4.2 Симплексные таблицы
- •3.4.3 Примеры решения задач симплекс-методом
- •4. Теория двойственности в линейном программировании
- •4.1 Понятие двойственности. Построение пары взаимно двойственных задач
- •4.2 Теоремы двойственности и их экономическое содержание
- •4.3 Анализ решения задач линейного программирования
- •5. Транспортная задача
- •5.1 Постановка транспортной задачи в матричной форме. Построение исходного опорного плана
- •5.2 Метод потенциалов
- •5.3 Дополнительные условия в транспортных задачах.
- •6. Дискретное программирование.
- •6.1 Метод Гомори для решения задачи целочисленного линейного программирования
- •7. Динамическое программирование
- •7.1 Многошаговые процессы в динамических задачах
- •7.2 Принцип оптимальности и рекуррентные соотношения
- •7.3 Вычислительная схема динамического программирования
- •7.4 Оптимальное распределение средств на расширение производства
- •8. Матричные игры
- •8.1 Парные матричные игры с нулевой суммой
- •8.2 Платежная матрица
- •Нижняя и верхняя цена игры
- •8.3 Смешанные стратегии
- •8.3 Решение матричной игры сведением к задаче линейного программирования
- •8.4 Решение матричной игры графическим методом
- •8.5 Приближенный метод решения матричных игр
- •Практические работы Практическая работа №1 Построение остовного дерева графа. Нахождение найкратчайшего расстояния между заданными вершинами графа
- •Практическая работа №2 Нахождение наикратчайших расстояний между всеми парами вершин графа. Алгоритм Флойда.
- •Практическая работа №3
- •Практическая работа №4 Нахождение потока заданной величины минимальной стоимости. Алгоритм Басакера-Гоуэна
- •Практическая работа №7 Оптимизация проекта по времени.
- •Практическая работа №8
- •Практическая работа №9 Оптимизация целевой функции с помощью двухфазного симплекс метода.
- •Практическая работа №10 Решение двойственных задач. Экономическая интерпретация задач линейного программирования.
- •Практическая работа №11 Решение транспортных задач.
- •Практическая работа №12 Дополнительные условия в транспортных задачах
- •Практическая работа №13 Метод Гомори для решения задачи целочисленного линейного программирования.
- •Практическая работа №14
- •Практическая работа №15 Решение матричных игр в чистых стратегиях
- •Практическая работа №16 Графический метод решения матричных игр.
- •Каркас минимального веса. Метод р. Прима.
- •Кратчайшие пути
- •Лабораторная работа №2 Кратчайшее расстояния от заданной вершины до всех остальных вершин графа.
- •Алгоритм Дийкстры.
- •Пути в бесконтурном графе.
- •Лабораторная работа №3 Кратчайшие пути между всеми парами вершин графа.
- •Алгоритм Флойда.
- •Лабораторная работа №4 Построение потока максимальной мощности.
- •Потоки в сетях.
- •Метод построения максимального потока в сети.
- •Лабораторная работа №5 Симплекс метод
- •Лабораторная работа №6 Транспортная задача
- •Список литературы
Практическая работа №3
Построение потоков максимальной мощности. Алгоритм Форда-Фалкерсона.
Теоретическая часть:
Что называется сетью?
Определение «сток» и «исток» на сети.
Поток на сети.
Мощность потока на сети.
Пропускная способность дуг.
Разрез на сети.
Пропускная способность разреза.
Теорема Форда-Фалкерсона.
Прямая и обратная дуга.
Алгоритм Форда-Фалкерсона.
Алгоритм построения потока с двойным ограничением потока по дугам.
Алгоритм построения потока в сети с несколькими источниками-стоками.
Алгоритм построения потока в сети с неориентированными ребрами.
Алгоритм построения потоков в сети с пропускными способностями узлов.
Практическая часть:
В соответствии с вариантом для данной сети:
- определить максимальный поток на сети;
- построить разрез на сети;
- определить пропускную способность разреза
Вариант №1
Вариант №2
Вариант №3
Вариант №4
Вариант №5
Вариант №6
Вариант №7
Вариант №8
Вариант №9
Вариант №10
Вариант №11
Вариант №12
Вариант №13
Вариант №14
Вариант №15
Вариант №16
Вариант №17
Вариант №18
Вариант №19
Вариант №20
Вариант №21
Вариант №22
Вариант №23
Вариант №24
Вариант №25
Вариант №26
Вариант №27
Вариант №28
Вариант №29
Вариант №30
Практическая работа №4 Нахождение потока заданной величины минимальной стоимости. Алгоритм Басакера-Гоуэна
Теоретическая часть:
Стоимость доставки единицы потока по дуге?
Понятие графа модифицированных стоимостей?
Формулировка постановки задачи?
Нахождение потока заданной величины минимальной стоимости?
Алгоритм Басакера-Гоуэна?
Практическая часть:
Для сети (смотреть практическую работу №3) построить поток заданной мощности в соответствии с вариантом минимальной стоимости. На каждой дуге сети указаны два числа. Первое число означает пропускную способность ребра, а второе число указывает на поток по ребру. Стоимость доставки единицы потока по дуге указана в соответствии с вариантом.
Вариант №1
|
Вариант №2
|
Вариант №3
|
SA — 7 SC — 8 SD — 9 AB — 4 AC — 5 BC — 2 BT — 8 CD — 3 CE — 7 DE — 6 ET — 4 CT — 5
|
SA — 6 SC — 8 SD — 3 AB — 4 AC — 4 BC — 2 BT — 7 CD — 3 CE — 6 DE — 6 ET — 4 CT — 5
|
SA — 7 SC — 9 SD — 2 AB — 4 AC — 5 BC — 4 BT — 8 CD — 7 CE — 7 DE — 6 ET — 2 CT — 4
|
Вариант №4
|
Вариант №5
|
Вариант №6
|
SA — 2 SC — 6 SD — 9 AB — 5 AC — 6 BC — 7 BT — 8 CD — 3 CE — 7 DE — 4 ET — 4 CT — 3
|
SA — 6 SC — 3 SD — 4 AB — 4 AC — 5 BC — 2 BT — 5 CD — 3 CE — 7 DE — 6 ET — 7 CT — 9
|
SA — 4 SC — 8 SD — 2 AB — 4 AC — 5 BC — 9 BT — 8 CD — 7 CE — 7 DE — 2 ET — 4 CT — 5
|
Вариант №7
|
Вариант №8
|
Вариант №9
|
SA — 3 SC — 4 SD — 9 AB — 6 AC — 8 BC — 6 BT — 4 CD — 3 CE — 7 DE — 3 ET — 7 CT — 9
|
SA — 8 SC — 9 SD — 6 AB — 8 AC — 2 BC — 5 BT — 5 CD — 4 CE — 7 DE — 6 ET — 7 CT — 6
|
SA — 6 SC — 3 SD — 5 AB — 4 AC — 5 BC — 2 BT — 5 CD — 9 CE — 7 DE — 5 ET — 7 CT — 9
|
Вариант №10
|
Вариант №11
|
Вариант №12
|
SA — 7 SC — 5 SD — 9 AB — 5 AC — 3 BC — 7 BT — 8 CD — 9 CE — 7 DE — 8 ET — 4 CT — 3
|
SA — 3 SC — 6 SD — 9 AB — 6 AC — 6 BC — 8 BT — 8 CD — 6 CE — 7 DE — 2 ET — 4 CT — 5
|
SA — 2 SC — 7 SD — 7 AB — 9 AC — 3 BC — 5 BT — 7 CD — 3 CE — 4 DE — 4 ET — 7 CT — 8
|
Вариант №13
|
Вариант №14
|
Вариант №15
|
SA — 4 SC — 3 SD — 6 AB — 8 AC — 3 BC — 7 BT — 6 CD — 9 CE — 5 DE — 8 ET — 7 Вариант №16
|
SA — 5 SC — 5 SD — 6 AB — 5 AC — 7 BC — 7 BT — 8 CD — 8 CE — 7 DE — 8 ET — 4 Вариант №17
|
SA — 2 SC — 4 SD — 8 AB — 2 AC — 9 BC — 4 BT — 8 CD — 9 CE — 7 DE — 2 ET — 7 Вариант №18
|
SA — 7 SC — 4 SD — 8 AB — 5 AC — 3 BC — 7 BT — 2 CD — 9 CE — 7 DE — 8 ET — 4 CT — 6
|
SA — 6 SC — 3 SD — 9 AB — 4 AC — 8 BC — 6 BT — 8 CD — 9 CE — 7 DE — 7 ET — 6 CT — 3
|
SA — 5 SC — 5 SD — 7 AB — 6 AC — 7 BC — 7 BT — 9 CD — 5 CE — 9 DE — 8 ET — 4 CT — 2
|
Вариант №19
|
Вариант №20
|
Вариант №21
|
SA — 2 SC — 6 SD — 7 AB — 5 AC — 6 BC — 7 BT — 5 CD — 3 CE — 7 DE — 6 ET — 4 CT — 3
|
SA — 8 SC — 5 SD — 9 AB — 4 AC — 4 BC — 9 BT — 8 CD — 4 CE — 7 DE — 4 ET — 8 CT — 7
|
SA — 6 SC — 6 SD — 5 AB — 5 AC — 6 BC — 7 BT — 8 CD — 9 CE — 7 DE — 8 ET — 4 CT — 6
|
Вариант №22
|
Вариант №23
|
Вариант №24
|
SA — 4 SC — 4 SD — 7 AB — 2 AC — 9 BC — 8 BT — 8 CD — 9 CE — 7 DE — 7 ET — 7
|
SA — 2 SC — 8 SD — 8 AB — 2 AC — 4 BC — 4 BT — 6 CD — 9 CE — 7 DE — 2 ET — 9
|
SA — 6 SC — 2 SD — 7 AB — 2 AC — 9 BC — 4 BT — 8 CD — 7 CE — 7 DE — 2 ET — 7
|
Вариант №25
|
Вариант №26
|
Вариант №27
|
SA — 5 SC — 5 SD — 7 AB — 5 AC — 6 BC — 7 BT — 5 CD — 5 CE — 7 DE — 6 ET — 4 CT — 3
|
SA — 8 SC — 6 SD — 8 AB — 5 AC — 6 BC — 8 BT — 5 CD — 3 CE — 7 DE — 8 ET — 4 CT — 8
|
SA — 2 SC — 6 SD — 7 AB — 7 AC — 6 BC — 7 BT — 5 CD — 3 CE — 7 DE — 6 ET — 7 CT — 3
|
Вариант №28 |
Вариант №29 |
Вариант №30 |
SA — 4 SC — 5 SD — 4 AB — 5 AC — 6 BC — 4 BT — 5 CD — 4 CE — 7 DE — 9 ET — 4 CT — 3
|
SA — 9 SC — 5 SD — 7 AB — 9 AC — 6 BC — 7 BT — 9 CD — 5 CE — 7 DE — 9 ET — 4 CT — 3
|
SA — 3 SC — 5 SD — 7 AB — 5 AC — 3 BC — 7 BT — 5 CD — 3 CE — 7 DE — 8 ET — 4 CT — 9
|
Практическая работа №5
Нахождение потока заданной величины минимальной стоимости. Алгоритм Клейна.
Для сети построить поток заданной мощности минимальной стоимости, используя алгоритм Клейна. V=6
Вариант 1
Вариант 2
Вариант 3
Вариант 4
Вариант 5
Вариант 6
Вариант 7
Вариант 8
Вариант 9
Вариант 10
Практическая работа №6
Сетевое планирование.
Модели управления проектами.
Построить и рассчитать временные характеристики сетевых графиков.
Вариант 1
Проект разработки и внедрения нового вида продукции включает в себя следующие работы (табл.).
Таблица 1
Работа |
Предшествующие работы |
Продолжительность работы, мес. |
А1 |
- |
1 |
А2 |
- |
5 |
А3 |
А1 |
3 |
А4 |
А1 |
2 |
А5 |
А2, А3 |
6 |
А6 |
А2, А3 |
5 |
А7 |
А4, А5 |
5 |
А8 |
А6 |
3 |
Требуется:
построить сетевой график проекта;
рассчитать минимальное время выполнения проекта;
рассчитать временные параметры свершения событий;
определить сроки выполнения работ и их резервы времени;
построить линейный график выполнения работ проекта.
Вариант 2.
Фирма «Астра» запланировала реконструкцию своего офиса. Перечень работ, которые необходимо для этого выполнить, представлены в табл..
Таблица 2
Работа |
Предшествующие работы |
Продолжительность работы, мес. |
А1 |
- |
5 |
А2 |
А1 |
10 |
А3 |
А1 |
5 |
А4 |
А2 |
3 |
А5 |
А2 |
5 |
А6 |
А4 |
3 |
А7 |
А3 |
4 |
А8 |
А7 |
5 |
А9 |
А5, А6, А8, |
39 |
Требуется:
построить сетевой график проекта;
рассчитать минимальное время выполнения проекта;
рассчитать временные параметры свершения событий;
определить сроки выполнения работ и их резервы времени;
построить линейный график выполнения работ проекта.
Вариант 3
Подготовка и проведение экскурсионного тура требует выполнения следующих работ (табл.)
Таблица 3
Работа |
Предшествующие работы |
Продолжительность работы, мес. |
А1 |
- |
6 |
А2 |
- |
8 |
А3 |
- |
2 |
А4 |
А1 |
3 |
А5 |
А1 |
4 |
А6 |
А3 |
6 |
А7 |
А3 |
3 |
А8 |
А2, А5,А6 |
4 |
А9 |
А2, А5,А6 |
4 |
А10 |
А4, А8, |
2 |
А11 |
А7 |
3 |
Требуется:
построить сетевой график проекта;
рассчитать временные параметры свершения событий, пользуясь четырехсекторной схемой. Выделить критические работы, указать критический срок выполнения проекта;
определить сроки выполнения работ и их резервы времени;
построить линейный график выполнения работ проекта.
Вариант 4
Комплекс работ по организации спортивно-оздоровительного мероприятия для детей туристской школы приведен в табл.
Таблица 4
Работа |
Предшествующие работы |
Продолжительность работы, мес. |
А1 |
- |
4 |
А2 |
- |
6 |
А3 |
А1 |
2 |
А4 |
А1 |
6 |
А5 |
А2, А3 |
3 |
А6 |
А2, А3 |
3 |
А7 |
А4, А5 |
5 |
Требуется:
построить сетевой график проекта;
рассчитать минимальное время выполнения проекта;
рассчитать временные параметры свершения событий;
определить сроки выполнения работ и их резервы времени.
Вариант 5
Осуществление проекта требует выполнения ряда работ, перечень которых задан в табл.
Таблица 5
Работа |
Предшествующие работы |
Продолжительность работы, мес. |
А1 |
- |
5 |
А2 |
- |
3 |
А3 |
А1 |
7 |
А4 |
А1 |
6 |
А5 |
А2 |
7 |
А6 |
А4, А5 |
3 |
А7 |
А4, А5 |
10 |
А8 |
А3, А6 |
8 |
Требуется:
построить сетевой график проекта;
определить:
сколько времени потребуется для завершения проекта;
можно ли отложить выполнение работы А4 на без отсрочки завершения проекта в целом;
на сколько месяцев можно отложить выполнение работы А3 без отсрочки завершения проекта в целом.
Вариант 6
Проект подготовки нового экскурсионного тура состоит из восьми работ (табл.)
Таблица 6
Работа |
Предшествующие работы |
Продолжительность работы, мес. |
А1 |
- |
3 |
А2 |
- |
6 |
А3 |
А1 |
2 |
А4 |
А2, А3 |
5 |
А5 |
А4 |
4 |
А6 |
А5 |
3 |
А7 |
А2, А3 |
9 |
А8 |
А6, А7 |
3 |
Требуется:
построить сетевой график проекта;
рассчитать минимальное время выполнения проекта;
рассчитать временные параметры свершения событий;
определить можно ли отложить выполнение работы А3 на без отсрочки завершения проекта в целом;
определить, на сколько месяцев можно отложить выполнение работы А6 без отсрочки завершения проекта в целом.
Вариант 7
Университет рассматривает предложение о строительстве новой турбазы. Работы которой следует выполнить перед началом строительства, представлены в табл.
Таблица 7
Работа |
Предшествующие работы |
Продолжительность работы, мес. |
А1 |
- |
6 |
А2 |
А1 |
8 |
А3 |
А1 |
12 |
А4 |
А3 |
4 |
А5 |
А3 |
12 |
А6 |
А4, А5 |
15 |
А7 |
А2, А5 |
12 |
А8 |
А6, А7 |
8 |
Требуется:
построить сетевой график проекта;
найти критический путь;
определить, реально ли начать работу по строительству здания турбазы через год после принятия решения о начале проекта;
определить сроки свершения события, , пользуясь четырехсекторной схемой;
определить сроки выполнения работ и их резервы времени.
Вариант 8
Проект подготовки нового экскурсионного тура состоит из восьми работ (табл.)
Таблица 8
Работа |
Предшествующие работы |
Продолжительность работы, мес. |
А1 |
- |
1 |
А2 |
- |
5 |
А3 |
А1 |
4 |
А4 |
А1 |
3 |
А5 |
А2 |
6 |
А6 |
А4, А5 |
5 |
А7 |
А4, А5 |
6 |
А8 |
А3, А6 |
4 |
Требуется:
построить сетевой график проекта;
рассчитать минимальное время выполнения проекта;
рассчитать временные параметры свершения событий;
определить можно ли отложить выполнение работы А3 на без отсрочки завершения проекта в целом;
определить, на сколько месяцев можно отложить выполнение работы А6 без отсрочки завершения проекта в целом.
Вариант 9
Проект разработки и внедрения нового вида продукции включает в себя следующие работы (табл.).
Работа |
Предшествующие работы |
Продолжительность работы, мес. |
А1 |
- |
5 |
А2 |
- |
8 |
А3 |
А1 |
4 |
А4 |
А2, А3 |
5 |
А5 |
А4 |
3 |
А6 |
А5 |
3 |
А7 |
А2, А3 |
9 |
А8 |
А6, А7 |
12 |
Требуется:
построить сетевой график проекта;
рассчитать минимальное время выполнения проекта;
рассчитать временные параметры свершения событий;
определить сроки выполнения работ и их резервы времени;
построить линейный график выполнения работ проекта.
Вариант 10
Подготовка и проведение экскурсионного тура требует выполнения следующих работ (табл.)
Работа |
Предшествующие работы |
Продолжительность работы, мес. |
А1 |
- |
5 |
А2 |
- |
9 |
А3 |
- |
3 |
А4 |
А1 |
5 |
А5 |
А1 |
7 |
А6 |
А3 |
6 |
А7 |
А3 |
3 |
А8 |
А2, А5,А6 |
4 |
А9 |
А2, А5,А6 |
4 |
А10 |
А4, А8, |
2 |
Требуется:
построить сетевой график проекта;
определить:
сколько времени потребуется для завершения проекта;
можно ли отложить выполнение работы А4 на без отсрочки завершения проекта в целом;
на сколько месяцев можно отложить выполнение работы А3 без отсрочки завершения проекта в целом.