1) п.8. Свойства сложения векторов.
1. Сложение векторов
подчиняется закону ассоциативности,
т.е. 
верно
равенство:
(1)
Доказательство.
Воспользуемся правилом треугольника сложения
векторов. Пусть 
, 
.
Тогда 
.
Отложим вектор 
от
точки С и обозначим его конец буквой D,
так что 
.
Тогда
по правилу треугольника 
.
С другой стороны, отложим вектор 
и 
,
ч.т.д. См. также рис. 9.
А 
В
D С
рис. 9.
2. Существует нулевой элемент относительно сложения векторов, т.е. нулевой вектор:
верны
равенства 
.
3.
Для любого вектора 
существует
противоположный ему вектор 
,
такой, что
.
4. Сложение векторов
подчиняется закону коммутативности,
т.е. 
верно
равенство:
.
Последнее свойство сразу же следует из правила параллелограмма сложения векторов.
Таким
образом, мы видим, что множество всех
векторов 
относительно операции сложения
является абелевой группой, очевидно,
бесконечной.
Скаляры можно складывать, умножать и делить так же, как обычные числа.
Поскольку
вектор характеризуется не только
числовым значение, но и направлением,
сложение векторов не подчиняется
правилам сложения чисел. Например, пусть
длины векторов a =
3 м, b =
4 м, тогда a + b =
3 м + 4 м = 7 м. Но длина вектора 
не
будет равна 7 м (рис. 1).
Рис. 1.
Для того, чтобы построить вектор (рис. 2), применяются специальные правила сложения векторов.
Рис. 2.
А
длину вектора суммы
определяют
по теореме косинусов 
,
где 
–
угол между векторами 
и 
.
Правило треугольника
В зарубежной литературе этот метод называют «хвост к голове».
Для
того чтобы сложить два вектора
и
(рис.
3, а) нужно переместить вектор
параллельно
самому себе так, чтобы его начало
совпадало с концом вектора
(рис.
3, б). Тогда их суммой будет вектор 
,
начало которого совпадает с началом
вектора
,
а конец — с концом вектора
(рис.
3, в).
а б в
Рис. 3.
Результат
не поменяется, если перемещать вместо
вектора
вектор
(рис.
4), т.е. 
(свойство
коммутативности векторов).
а б в
Рис. 4.
"Правило треугольников" Пример 1
Увеличить Flash
"Правило треугольников" Пример 2
Увеличить Flash
Рис. 5.
При
помощи правила треугольника можно
сложить два параллельных вектора
и
(рис.
6, а) и
и 
(рис.
7, а). Суммы этих векторов
и 
изображены
на рис. 6, б и 7, б. Причем, модули
векторов 
и 
.
а б
Рис. 6.
а б
Рис. 7.
Правило
треугольника можно применять при
сложении трех и более векторов.
Например, 
(рис.
8).
Рис. 8.
Правило параллелограмма
Для
того чтобы сложить два вектора
и
(рис.
9, а) нужно переместить их параллельно
самим себе так, чтобы начала
векторов
и
находились
в одной точке (рис. 9, б). Затем построить
параллелограмм, сторонами которого
будут эти вектора (рис. 9, в). Тогда
суммой 
будет
вектор
,
начало которого совпадает с общим
началом векторов, а конец — с противоположной
вершиной параллелограмма (рис. 9, г).
а б
в г
Рис. 9.
"Правило параллепипеда"
Увеличить Flash
Рис. 10.
Вычитание векторов
Для
того чтобы найти разность двух
векторов
и
(рис.
11) нужно найти вектор 
(см. Умножение
вектора на скаляр)
по правилу треугольника (рис. 12) или по
правилу параллелограмма (рис. 13).
Рис. 11
а б в
Рис. 12.
а б
б в
2) п.9. Умножение вектора на число.
Определение.
Произведением вектора
на
действительное число 
называется
вектор
,
удовлетворяющий следующим двум условиям:
1) 
;
2) 
,
если 
и 
,
если 
;
и
обозначается 
.
Теорема. (Свойства умножения вектора на число.)
1. Свойство ассоциативности: 
верно
равенство 
.
2. Свойство дистрибутивности умножения относительно
сложения чисел: верно равенство
.
3. Свойство дистрибутивности умножения относительно
сложения векторов: 
верно
равенство
.
4.
верно равенство 
.
Доказательство. Свойство 4 вытекает из определения умножения вектора на число. Докажем свойство 1.
Умножение
вектора 
на
число
можно
интерпретировать как
гомотетию 
какой-нибудь плоскости Р,
в которой лежит данный вектор, с центром
гомотетии в начале вектора и коэффициентом
.
Такая
гомотетия плоскости Р
оставляет точку А на месте, 
,
а конец вектора – точку В переводит
(отображает) в точку С, 
,
причем 
и точка С лежит на луче АВ, если и на
противоположном луче, если . См. рис. 10 и 11.
А В С
рис. 10.
С А В
рис.11.
Теперь свойство 1
следует из того что композиция гомотетий
(т.е. последовательное их выполнение)
есть гомотетия, причем 
и 
верно
равенство: 
.
Пусть 
.
D А В С
|
рис. 12.
Тогда 
, 
и 
,
т.е. 
.
Таким
образом, 
и
,
следовательно, , ч.т.д.
Доказательство свойства 2
оставляем читателю в качестве
самостоятельного упражнения. Заметим,
что если оба числа
и 
имеют
одинаковый знак, то свойство 2
очевидно. Осталось рассмотреть случай
разных знаков чисел
и
.
И, наконец, свойство 3 очевидно из следующего
рисунка, построенного для случая :
рис. 13.
Заметим, что такая картинка возникает, если мы применим к плоскости, в которой лежат оба вектора, отложенные от одной точки О, преобразование гомотетии с центром гомотетии в точке О икоэффициентом .
Теорема доказана.
Теорема. Множество всех векторов как направленных отрезков впространстве точек S является векторным пространством над полем действительных чисел.
Доказательство следует из свойств сложения векторов и их умножения на действительные числа.
Определение. Векторное пространство над полем действительных чиселназывается вещественным векторным пространством.
Пусть
L произвольная прямая в пространстве S.
Тогда ясно, что 
,
т.е. множество векторов коллинеарных прямой L
является подмножеством всех векторов
.
Далее, сумма любых двух векторов коллинеарных прямой L также является вектором коллинеарным прямой L:
.
В этом случае говорят, что
множество векторов 
замкнуто
относительно сложения векторов.
Аналогично, 
,
т.е. множество
замкнуто
относительнооперации умножения
вектора на действительное число. Отсюда
сразу же следует, что для векторов из
множества
справедливы
все свойствасложения и
умножения на действительные числа, т.е.
справедливы все аксиомы
вещественного векторного пространства.
Таким образом, множество также является вещественным векторным пространством.
Говорят, что векторное пространство является векторным подпространством векторного пространства .
Аналогично
и для множества 
всех векторов лежащих
на некоторойплоскости Р
или на параллельной ей плоскости.
Множества
также
является векторным пространством и
векторным подпространствомвекторного пространства
.
Если
прямая L лежит в плоскости Р
или параллельна ей, то 
и
–
подпространство векторного пространства
и
одновременно векторного пространства
.
Векторное пространство мы будем называть пространствомвекторов на прямой L, а –пространством векторов на плоскости Р.
3) Признак коллинеарности векторов.
Для
коллинеарности вектора 
ненулевому
вектору 
необходимо
и достаточно, чтобы существовало такое
число λ, что 
Эта теорема доказывается аналогично, как в планиметрии.
§ 6. Коллинеарные векторы.
Два ненулевых вектора, направления которых совпадают или противоположны, называются коллинеарными.
Так, например, на рис. 20 векторы BC> и AD> коллинеарны, а векторы AB> и AC> неколлинеарны.
Если векторы а и b коллинеарны, то говорят также, что вектор а коллинеарен векторуb, а вектор b коллинеарен вектору а.
Нулевой вектор считается коллинеарным любому вектору.
Теорема (признак коллинеарности). Для того чтобы вектор а был коллинеарен ненулевому вектору b, необходимо и достаточно, чтобы существовало число k, удовлетворяющее условию
a = kb. (1)
Достаточность. Если при некотором k равенство (1) выполняется, то векторы b и аколлинеарны по определению умножения вектора на число и определению коллинеарных векторов.
Необходимость. Пусть
вектор а коллинеарен
ненулевому вектору b.
Возможны следующие три случая:
а 
b, а 
b, а = 0.
Если а
b,
то a = 
• b,
т. е. равенство (1) выполняется при k =
Если а b , то a = — • b, т. е. равенство (1) выполняется при k = —
Если а = 0, то а = 0 • b , т. е. равенство (1) выполняется при k= 0.
Задача. Доказать, что векторы AВ> + СВ> + 2 ВА> и 1/3 AС> коллинеарны.
Используя свойства операций над векторами, получим
AВ> + СВ> + 2 ВА> = (AВ> + ВА>) + (СВ> + ВА>) = 0 + ВА> = ВА> = — АС>.
Таким образом,
AВ> + СВ> + 2 ВА> = —3 (1/3 AС>) .
По признаку коллинеарности векторов данные в условии векторы коллинеарны.
4)Вычитание векторов
Чтобы из вектора а вычесть вектор b надо к вектору а прибавить вектор, противоположный вектору b. Полученный в результате этой операции вектор с и будет являться разностью векторов а и b. Таким образом,
с = а − b = а + (− b).
5) Векторы называются компланарными, если имеются равные им вектора, параллельные одной плоскости.
Любые два вектора компланарны. Любые три вектора, среди которых есть два коллинеарных, компланарны.
|
Рисунок 9.2.1 |
На
рисунке 9.2.1 векторы 
и 
компланарны,
так как, если отложить от точки C вектор 
то
все три вектора
и 
окажутся
лежащими в одной плоскости. Векторы 
и
не
компланарны, так как вектор
не
лежит в плоскости ACD.
Три вектора называются некомпланарными, если концы равных им векторов, отложенных от одной точки, не лежат в одной плоскости с их общим началом
Теорема о разложении по базису в пространстве.
Любой вектор можно разложить по трем данным некомпланарным векторам, причем коэффициенты разложения определяются единственным образом.
Эта теорема доказывается аналогично теореме 9.4, и поэтому мы не будем на ней подробно останавливаться.
|
Рисунок 9.2.2 |
Отложим
от произвольной точки векторы
и 
Спроектируем
конец вектора 
на
прямые, задаваемые векторами
и 
в
направлении, параллельном другому
вектору (рис. 9.2.2). Обозначим вектора
с началами в точке O и
с концами в полученных точках
соответственно 
и 
Так
как эти вектора лежат на тех же прямых,
что и
,
и
то
по теореме 9.3 существуют
такие числа α и β, что 
При
этом по правилу
параллелограмма 
Значит, 
Докажем
теперь, что такая пара чисел единственна.
Предположим, что нашлось два разложения
вектора
по
векторам
и
то
есть нашлись две пары чисел 
и 
таких,
что 
и
справедливы разложения: 
и 
Вычитая
из первого равенства второе,
получаем 
Отсюда,
ввиду того что 
следует,
что 
то
есть 
что
по условию не так. Полученное противоречие
означает, что неравенство
невозможно,
а значит 
Аналогично
доказывается, что 
Теорема
доказана.
Координа́ты ве́ктора ― коэффициенты единственно возможной линейной комбинации базисных векторов в выбранной системе координат, равной данному вектору.
6 )не нашел(