54. Вырожденный и невырожденный случаи транспортной — задачи, циклический перенос и цена цикла.

4.5. Улучшение плана по методу циклических перестановок

Для получения нового плана надо перераспределить перевозимый груз между поставщиками и покупателями таким образом, чтобы снизить суммарную стоимость перевозок, не нарушив при этом условий задачи (т.е. сохранив заданные объемы заявок и запасов). Эффективное решение этой задачи обеспечивает метод циклических перестановок.

Сначала необходимо наметить маршрут циклической перестановки – определить так называемый цикл пересчета. Клетку, с которой начинается цикл пересчета, можно выбрать по результатам выполнения п. 4.4 – из числа тех клеток, в которых нарушаются условия (4.4). Для каждой такой клетки надо определить приращение стоимости перевозки (той перевозки, которую символизирует данная клетка), даваемое текущим решением :  с₁₆ = 3­ – 4 = – 1;  с₃₆ = 5­ – 6 = – 1;  с₄₂ = 5­ – 2 = – 3;  с₄₃ = 4­ – 6 = – 2. В качестве «отправного пункта» цикла пересчета следует взять клетку с наибольшей абсолютной величиной с_ij. Для рассматриваемого примера – клетка (4, 2).

Циклом пересчета называют ломаную линию, начинающуюся в свободной клетке, остальные вершины которой помещены в базисные клетки, а звенья лежат вдоль строк и столбцов таблицы. В каждой вершине встречаются только два звена, причем одно из них расположено по строке, другое по столбцу. Никакие три вершины, встречающиеся подряд при обходе, не лежат на одной прямой. Если циклом служит самопересекающаяся линия, то точки самопересечения не могут быть ее вершинами. Свободной клетке в цикле присваивается знак «+», другим вершинам  чередующиеся по ходу знаки «», «+», «» и т. д.

Цикл пересчета для клетки А₄В₂ показан в таблице 4.7.

Так как число «положительных» и «отрицательных» вершин цикла одинаково, то баланс не нарушится, если в «отрицательных» вершинах вычесть какое-либо число, а в «положительных» вершинах прибавить это же число.

В «минусовых» вершинах составленного таким образом цикла стоят числа 6 и 16. Вычтя минимальное из этих чисел – в данном случае это число 6 – в «отрицательных» вершинах, получим новую свободную переменную x₂₂ (клетка А₂В₂). Вместо нее в базис войдет x₄₂ (клетка А₄В₂). Это значит, что уравнение ₂+₂=1 системы (4.3) надо перенести в систему (4.4) в виде ₂ + ₂  1, а неравенство ₄ +₂  2 из системы (4.4) – в систему (4.3), записав это ограничение в виде уравнения ₄ +₂ = 2.

Прибавив число 6 в «положительных» вершинах цикла и решив новую систему уравнений, получим следующее допустимое решение (табл. 4.8), которое так же, как и предыдущее, оказалось неоптимальным. Следовательно, необходимо повторить описанные выше действия еще раз (табл. 4.8). Для решения данного примера понадобилось организовать четыре цикла пересчета. Оптимальное решение (табл. 4.9): х₁₄ = 18; х₁₆ = 5; х₂₅ = 28; х₂₆ = 4; х₃₃ = 19; х₃₆ = 12; х₄₁ = 18; х₄₂ = 11; х₄₃ = 5.

Ему соответствует следующее значение суммарной стоимости перевозок (оптимальное значение целевой функции):

W_min = f_min(x) = 1  18 + 2  11 + 4  19 + 5  4 + 1  20 + 5  28 + + 4  4 + 3  5 + 5  12 = 387.

Таблица 4.8

Второе допустимое решение и второй цикл пересчета

	1 = 0	2 = 1	3 = 5	4 = 1	5 = 8	6 = 7
– + 1 = 0	0  7	1 = 1	5  8	1 = 1	8  5	7  3
		5		20
– 2 = – 3	–3  7	–21	2  8	–2  5	5 = 5	4 = 4
					11	21
3 = – 1	–1  3	4  7	4 = 4	0  5	7 = 7	6  5
			24		7
+ + – 4 = 1	1 = 1	2 = 2	6  4	2  9	9 = 9	8  9
	18	6			10

Таблица 4.9

Оптимальное решение транспортной задачи

	1 = –1	2 = 0	3 = 2	4 = 1	5 = 4	6 = 3
1 = 0	0  –1	0  1	2  8	1 = 1	4  5	3 = 3
				20		5
2 = 1	0  7	1  1	3  8	2  5	5 = 5	4 = 4
					28	4
3 = 2	1  3	2  7	4 = 4	3  5	6  7	5 = 5
			19			12
4 = 2	1 = 1	2 = 2	4 = 4	3  9	6  9	5  9
	18	11	5