6. С помощью средств предыдущего примера доказать клаузу:

-X, -Y, Z -> X, S -> (Y v Z), (Т v U) -> S => -Т

Доказательство:

№ пп	Выводы	Почему
	(Z -> X) = -Z v X = (-Z v Z) & (-Z v X)	единица
	(Z & X) v –Z = -(Z & X) -> -Z	дистрибутивность
	(Z -> -X) -> -Z	импликация
	(Z->X)-> (Z -> -X) -> -Z	рефлексивность
	(Z -> -X) -> -Z	1, P3, MP
	-X -> (Z -> -X)	A1
	(Z -> -X)	P1, 6, MP
	(S -> (-Y -> Z)) -> ((S -> -Y) -> (S -> Z))	A2
	(S -> -Y) -> (S -> Z)	8, P4, MP
	-Y -> (S -> -Y)	A1
	S -> -Y	10, P2, MP
	S->Z	9, 11, MP
	(S->Z) -> ((S->-Z) ->-S)	A3
	(S->-Z) ->-S	12, 13, MP
	-Z->(S->-Z)	А1
	-Z	5, 7, MP
	S->-Z	15, 16, MP
	-S	14, 17, MP
	(Т vU) ->S = Т ->S, U->S	P5
	(Т -> S) -> ((Т ->-S) ->-Т)	A3
	(T -> -S) -> -T	19, 20, MP
	-S -> (T -> -S)	A1
	T -> -S	18, 22, MP
	-T	21, 23, MP

7. Составить легенды для приведенных ниже четырех клауз.

Клауза 1:А ~ С, С ~ Е, Е -> D, D -> В => А -> В

А — Падение авторитета власти.

В — Политики, не способные управлять страной.

С — Нарастание анархии в обществе.

D—Высказывание абсурдных идей.

Е — Появление безответственных политиков.

«Падение авторитета власти происходит тогда и только тогда, когда нарастает анархия в обществе (А ~ С). Нарастание анархии в обществе равносильно появлению на политической арене безответственных политиков (С ~ Е). Появление подобных политиков приводит к тому, что они высказывают абсурдные идеи (Е -> D). Высказывание политиками таких идей демонстрирует неспособность их управлять страной (D-> В). Итак, падение авторитета власти приводит к появлению политиков, не способных управлять страной (А -> В)».

Клауза 2:А -> В, В -> Е, А -> С, С -> D, D -> F, -(Е & F) => -А

«Если человек занимается спортом (А), то он хочет быть здоровым (В). Хорошее здоровье (В) ведет к счастливой жизни (Е). Кроме того, если человек занимается спортом (А), то он, как правило, стремится достичь высоких спортивных результатов (С). Наличие высоких результатов (С) позволяет одерживать победы на соревнованиях (D). Победы на соревнованиях (D) влекут за собой всеобщее признание (F) . Однако, человек не хочет жить счастливо и иметь всеобщее признание -(Е лF). Значит, он не станет заниматься и спортом (-А)».

Клауза 3:J-> Н, К -> Н, I -> J, Н -> I, -Н => -J & -К

«Если знать язык программирования (J), то можно составить рабочую программу (Н). Рабочую программу можно также получить (Н) при условии наличия знакомого программиста (К). Овладеть языком программирования (J) можно, обучаясь в институте (I). Если программа работает (Н), то ее написал выпускник такого института (I). Но программа не работает (-Н). Это говорит о том, что желающий получить правильный результат не знает языка программирования (-J) и не имеет знакомых программистов (-К)

Клауза 4: А -> В, С -> D, В & D -> Е, А, -E => -С.

«Все живое способно чувствовать (А -> В). Всякое материальное тело занимает определенный объем (С -> D). Если нечто занимает пространственный объем и способно чувствовать, то это нечто есть ни что иное, как живой организм_(В лD-> Е). Пусть существует нечто живое (А), но не являющееся организмом (Е). Тог­да следует вывод, что это нечто нематериально (-С)».

8. 8.

Выше приведены легенды. Запишем клаузы, отвечающие тексту или кон­тексту этих легенд, для чего сформулируем необходимые посылки и два следст­вия: одно истинное, другое ложное. С помощью таблицы истинности найдем МНФ, минимальное и все трансверсальные покрытия (последнее задание вы­полнено только для варианта 21).

21. Если в одном месте что-то убудет, то в другом месте что-то прибудет — это истина, не требующая доказательства. Но есть такая теория, которая утверждает: где-то в далеком космосе существуют «черные дыры», куда все проваливается, но оттуда ничего не появляется. Эта теория ничего не говорит о существовании «белых дыр», которые действовали бы противоположно «черным». Один ино­странный астрономический журнал сообщил координаты «черной дыры». Рос­сийский астроном Иванов направил туда свой мощный телескоп и ничего не об­наружил, "Так-так, — сказал Иванов, — но «белую дыру» я все же открою".

Для варианта 21 можно предложить следующую клаузу:

А ~ В, С -> A, D -> В, С -> Е, Е => С -> В

А—Где-то что-то убыло

В—Где-то что-то прибыло

С—"Черная дыра " существует

D—"Белая дыра"существует

Е—Невозможность ничего увидеть

Исходную легенду допустимо трансформировать в близкую по смыслу и со­ставить таблицу истинности (табл. 1.23):

«Если в одном месте что-то убудет, то в другом что-то непременно прибудет, и наоборот (А ~ В). Если существует "черная дыра", то в нее все проваливается, то есть в ее окрестностях что-то убывает (С -> А). Если существует "белая дыра", то из нее в окружающее пространство должно прибывать вещество (D -> В). Если существует "черная дыра", то ее невозможно увидеть, так как она не излучает свет (С -> Е). Астроном ничего не увидел (Е). Итак, "белая дыра" существует (D).» Это — ложное умозаключение. Истинным же заключением является, на­пример, следующее: «Если существует "черная дыра", то где-то в пространстве вселенной должно непременно появляться вещество (С -> В)».

Из табл. 1.23 видно, что три единицы обобщенной посылки (Р) не покрывают­ся единицами ложного следствия (D); единицы же истинного следствия (С -> В) целиком накрывают единицы обобщенной посылки. По табл. 1.23 составим СДНФ:

А, В, С, D, Е; А, В, С,D, Е; А, В, С,D, Е;

А, В, С, D, Е; А, В, С,D, Е .

После преобразований получим следующую МДФ:

А, В, D, Е; А, В, С,D,E. Трансверсальные покрытия:

А; В, С, D, Е А, В; С,D, Е А, В, Е; С,D.

Минимальное покрытие: Е .

l.i

Таблица 1

A	в	V	D	E	A - В	C-> АП	D -)- В	С -> E	p	D	С -* В I,
1	1	1	1	1	1 _	1	1	1	1	1	1
0	1	1	1	1	0	0	г ч	1	0	1	1
1	0	1	1	1	0	1	0	1	0	1	0
0	0	1	1	1	1	0	0	1	0	1	0
1		о	1	1	1	1	•j	1	1	1	1
0	1	0	1	1	0	1	1	1	0	1	1
1	0	0	1	t	0	1	о	1	0	1	1
0	0	0	1	t	1	1	0	1	0	1	1
1	1	1	0	1	4	1	1	1	1	0	1
0	1	1	о	1	0	0	1	1	0	0	1
1	0	1	0	1	0	1	1	1	0	0	0
0	0	1	0	1	1	0	•1	1	0	0	0
1	1	0	0	1	1	1	1	1	1	• 0	1
0	1	о	0	1	: o^	1	1	1	0	0	1
1	0	0	0	1	0	1	1	1	0	0	1
0	0	0	0	1	I	1	1	1	1	0	1
1	1	1	A	0	1	1	1	0	0	1	1
0	1	1	1	0	0	о	1	0	0	t	1
1	0	1	1	0	0	1	0	0	0 I	1	0
о	0	1	1	0	1	0	0	0	0	1	0
\ 1	1	0	1	0	1	1	1	1	0~~'	1	1
0	1	0	1	0	0	1	1	1	0	1	1
1	0	0	1	0	0	1	0	1	0	1	1
0	0	0	1	0	1	1	0	1	0	1	1
1	1	1	0	0	1	1	1	0	0	0	1
0	1	1	0	0	0	0	t	0	0	0	1
1	0	1	о	0	0	1	1	0	o.	0	0
0	0	1	0	0	1	0	1	0	0	0	0
1	1	0	0	0	1	1	1	1	0	0	1
0	1	0	0	0	0	1	1	1	0	0	1
1	0	0	0	0	0	1	1	1	0	0	1
i о	0	0	0	0	1	1	1	1	0	0	1

Для варианта 22

22. Если в цепи будет большой перепад напряжения, то сгорит предохрани­тель, что повлечет за собой необходимость его замены. При целом предохрани­теле телевизор, конечно, будет работать, но только если он включен в сеть пита­ния. Если телевизор работает нормально, то я увижу сегодняшние «Новости». Итак, я смотрю телевизионные «Новости» при условии отсутствия перепада на­пряжения и подключения телевизора к сети питания.

можно составить следующую клаузу:

А -> В, В -> С, Е -> (-В -> D), D -> F => (-В & -А & Е) -> F

Введем следующие обозначения:

А—Возникновение перепада напряжения в сети

В—Перегорание предохранителя

С—Необходимость замены предохранителя

D—Телевизор работает нормально

Е—Телевизор подключен к сети питания

F—Я смотрю новости

«Если в сети был большой перепад напряжения, то сгорит предохранитель (А -> В). Если предохранитель сгорел, необходима его замена (В -> С). Если теле­визор включен в сеть, то телевизор работает нормально при условии целостно­сти предохранителя (Е -> (-В -> D)). Если телевизор работает нормально, я увижу "Новости" (D -> F). Я увижу "Новости" при условии отсутствия перепада напря­жения и подключения телевизора к сети питания((-А & Е) -> F)). Данное следст­вие яатяегся ложным. Истинным же следствием будет: «Я увижу "Новости" при условии целостности предохранителя, отсутствия перепада напряжения в сети и подключения телевизора к сети питания ((-В & -А & Е) -> F)». Выделим ту строку табл. 1.24, для которой обобщенная посылка (Р) и истинное следствие ((-В & -А & Е) -> F) принимают значения единицы, а ложное следствие ((-А & Е) -> F) — зна­чение нуля.

Таблица 1.24

А!В	С	D	Е	F	А-»В	В-»С	Е -> (В -> D) D ->F	Р | (А & Е) -> F	(В & А & Е) -> F
0|1	1	0	1	0	1	1	1 _j_ 1	tf J	1 •

Для варианта 23

23. «Иван Иваныч, можно?» — «Входи, Петров. Ну, сделал, что я тебя про­сил?» — «Видите ли... Если бы Вы немного прибавили...» — «Ты что, Петров! Си­доров за эту же работу берет в два раза меньше». — «Сидоров и сделал бы ее в два раза хуже. Я же работаю с личным клеймом. И потом, у меня семья — сами знае­те». — «ладно, проси что хочешь, но денег у меня нет». — «А как сделаю, на ры­балку отпустите?» — «Договорились, только ты моего Вовку с собой возьми, а то он тут с какой-то подозрительной компанией спутался». — «Если с Вовкой, то на Вашей лодке». — «Вот хитрец! Хорошо, поедем все вместе. Мне тоже не мешало бы проветриться. Ты дело только сделай».

допустимо составить следующую простую клаузу:

А -> В, В -> C, С -> D, D -> Е => А -> Е

A	Работа выполнена
B	Отпуск на рыбалку
C	Взять на рыбалку сына
D	Рыбалку провести с лодкой
E	На рыбалку поедут все вместе

«Если работа выполнена, то начальство отпустит на рыбалку (А -> В). Если отпу­стят на рыбалку, то обязательно возьмут на нее и сына (В -> С). Если берут сына, значит надо брать лодку (С -> D). Если брать с собой лодку, то поедут все вместе (D -> Е). Таким образом, если работа выполнена, то все вместе едут на рыбалку (А -> Е)». Данное следствие является истинным. ложным следствием является,_очевидно, такое: «Если работа сделана, то все вместе на рыбалку не едут (А -> -Е)».

Для варианта 24

составим следующую клаузу:

А -> (В & С), С -» D, В -> (А -> Е),D-> (ВvА) => (А & В) -> С. А — Уменьшение температуры.

В — Снижение давления. D— Снижение скорости.

С — Уменьшение объема. Е — Падение уровня.

«Уменьшение температуры приводит к снижению давления и уменьшению объема (А -> (В & С)). Увеличение объема приводит к росту скорости потока (С -> D). Повышение_давления приводит к падению уровня, если при этом уме­ньшать температуру (В -> (А -> Е)). Снижение_скорости приводит к уменьшению давления или росту температуры (D-> (ВvА)). Технолог Иванов рассудил так: "Мне надо повысить давление при одновременном снижении скорости потока, поэтому я должен увеличить объем и температуру" ((А & С) -> (В &D))». Данное умозаключение является ложным. Истинным рассуждением будет, например, та­кое: «Уменьшение температуры и увеличение давления ведут к уменьшению

Для варианта 25 составим клаузу:

AvВvС, (С &D) -> Е, (AvВ) -» Е, С ->D, =з- С -> Е.

А — Надеть брезентовые штаны. D— Взять с собой сумку.

В — Надеть шерстяное платье. Е — Великолепно смотрится.

С — Надеть пиджак и юбку с разрезом.

«Я могу надеть на себя брезентовые штаны или шерстяное платье или пидж и юбку с разрезом (AvВvС). Я буду выглядеть великолепно, если надену пи жак и юбку с разрезом и при этом возьму с собой сумку ((С &D) -+ Е). И наоб рот, я буду выглядеть ужасно, если надену на себя брезентовые штаны или ше стяное платье ((AvВ) -> Е). Однако сумку надо брать обязательно, если наде пиджак и юбку с разрезом (С ->D). Итак, чтобы выглядеть великолепно я выб раю последнее, т.е. надену на себя пиджак и юбку с разрезом (С -» Е)». Дани заключение является истинным. ложным может быть, например, такое: «Что! выглядеть великолепно, нужно надеть на себя брезентовые штаны (А -> Е)»,