7. Принцип резолю­ций

Рассмотрим еше один полуконструктивныйметод доказательства истинно­сти логических клауз, в котором используется так называемыйпринципрезолю­ций. Этот принцип играет рольаксиомы порядкаи вместе с тем порождает очень эффективнуюконструктивную процедуру.Суть его сводится к тому, что два по­сылочных дизъюнкта с противоположными термами всегда можно склеить в один заключительный дизъюнкт, в котором уже не будет противоположных тер­мов:

,

где XиY— произвольные термы или целые дизъюнкты с любым набором термов, включая ноль; А и — произвольные термы.

При последовательном применении принципа резолюций происходит умень­шение числа букв, вплоть до их полного исчезновения. При этом исходная клау­за конструируетсяв формеконъюнктивного противоречия:

.

Докажем с помощью метода резолюций справедливость правила отделения:

или.

Здесь имеются три дизъюнкта. Склеивая их последовательно, получаем в результате ноль, который говорит о несовместимости заключения и посылок. Это как раз и свидетельствует о справедливости исходной клаузы.

Принцип резолюций целиком заменяет аксиому порядка, поскольку сама эта ак­сиома может быть доказана в рамках метода резолюций. Действительно,

А, В => А, ,,.

Обращаем внимание на то, что посылка В здесь вообще не используется. Это необходимо иметь в виду: необязательно использовать все посылки (их число часто 5ывает избыточным) — главное получить ноль. Пусть дана клауза:

.

Доказательство ее справедливости следует начать с приведения ее в нормальную конъюнктивную форму.

Выпишем по порядку все посылки и далее начнем их склеивать согласно очередности. Справа от каждого нового дизъюнкта будем писать номера используемых дизъюнктов, получим:

					(2,4)
					(2,5)
					(3,6)
					(3,8)
		(1,3)			(4,5)
		(1,4)			(4,7)
		(2,3)		0	(4,9)

Подобная стратегия поиска нуля очень непродуктивна. Если к этой же задаче подойти более творчески, то ноль обнаружится на четвертом шаге от начала поиска:

		(1,4)
		(2,4)
		(3,6)
	0	(5,7)

До сих пор мы говорили о форме конъюнктивногопротиворечия. Исходя изпринципадвойственности, метод резолюций можно сформулировать относительно дизъюнктивной тавтологии, при этом принцип резолюций, естественно изменится:

.

Поскольку важна только форма, то, поменяв отрицание на другое высказывание, получим

Докажем одну и ту же клаузу двумя способами — в форме противоречия и форме тавтологии. Пусть дана клауза:

Доказательство в форме противоречия выглядит следующим образом:

1 2 3 4

Склейки: 5. В (1,2), 6.(5,3), 7. С (1,6), 8. 0 (4,7).

Доказательство в форме тавтологии проводится аналогично. Исходную клаузу запишем так:

или

1 2 3 4

Склейки: 5. (1,2), 6.(5,3), 7.(1,6), 8. 1 (4,7).