Аксиоматический метод
Закон антисимметричности по существу определяет правила действия по переносу объектных высказываний относительно символа метаимпликации « => ». Что же касается двух других законов отношения порядка, то они, в принципе, сводятся к аксиоме порядка. Так закон рефлексивности путем использования закона о единице может быть записан как:
А, 1 => А,
что является частным случаем аксиомы порядка. Закон транзитивноститакже может быть представлен в несколько иной форме:
А->В, В->С => А->С ,
а эту клаузу уже можно доказывать путем сведения ее к аксиоме порядка. Доказательство проведем в три этапа:
1) перенесем А влево за знак метаимпликации -
A, А -> В, В -> С => С ;
2) воспользуемся правилом отделения, которое нами уже доказано, для первых двух посылок —
B, В->С => С ;
3) затем еще раз воспользуемся этим же правилом, но для третьей посылки и вновь полученной, что приведет нас к аксиоме порядка в форме —
В, С => С .
Таким образом, закон транзитивности доказан. Убедимся в истинности тавтологии:
1 => (А -> (В -> С)) -> ((А -> В) -> (А -> С)).
Доказательство:
1) произведем эквивалентные преобразования –
А -> (В -> С), А -> В, A=> С
2) воспользуемся правилом отделения —
В->С, В => С
3) воспользовавшись еще раз правилом отделения, приходим к аксиоме порядка в форме предыдущего примера.
Докажем справедливость клаузы, которая построена на основе тождественного закона склеивания:
.
После эквивалентных преобразований:
она сводится к закону рефлексивности, т.е. к частному случаю аксиомы порядка рассмотренному выше.
Исторически первой системой аксиом классической логики была система предложенная Г. Фреге:
1. 1=> A->(B->A),
2. 1=> A->(B->C)-> ((A->B)->(A->C)),
3. 1=> (А -> (В ->С)) -> (В -> (А -> С) ,
4.
,
5.
.
Первая из аксиом Фреге является нашей аксиомой порядка. Вторая «аксиома» нами доказана выше. Остальные «аксиомы» представляют собой тождества логики Буля, записанные в форме клауз.
Позднее Я. Лукасевич уменьшил число аксиом в системе Фреге с пяти до
трех —
1. 1=>А->(В->А),
2. 1=> A->(B->C)-> ((A->B)->(A->C)),
3.
.
Вместо третьей «аксиомы» в современной логике часто используют «аксиому» вида:
,
вытекающую из тождественного закона склеивания. Однако, по нашему мнению, в процессе доказательств истинности клауз без аксиом булевой логики обойтись невозможно. Поэтому есть смысл говорить о пяти основополагающих законах логики высказываний: закона отношения порядка, а также законов коммутативности, ассоциативности, дистрибутивности, нуля и единицы.
Теперь вспомним о логическом круге, который возникал у нас в связи с «объяснением» опоры Земли. Тогда мы пришли к логическому соотношению вида
.
Если перейти на метаязык, то получим клаузу:
X;Y;Z=>X,Y,Z.
Данное выражение противоречит аксиоме порядка. Это говорит об ошибке в объяснении. Сказав, что Земля держится на трех китах, киты — на водах океана, а океан — на Земле, мы нарушили естественный порядок вещей — причину обусловили следствием. В связи с чем математический аппарат логики высказываний сразу же дал сбой. В приведенной клаузе уже нельзя будет переносить посылки через символ метаимпликации, так как
.
Отсюда вывод: метадизъюнкция «;» не может разделять две различные посылки, а метаконъюнкция « ,» — два различных заключения; это приводит к невозможности использовать аппарат логики высказываний.
Таблицы истинности
Противоположным к аксиоматическому является конструктивный метод доказательства, основанный на таблицах истинности. Чтобы понять его, достаточно составить таблицу истинности для какого-нибудь одного примера. Пусть дана следующая легенда:
Кассир Сидорова сказал, что она видела водителя контейнеровоза Иванова в комнате отдыха. Эта комната по ее словам находится рядом с помещением склада готовой продукции. Стреляли в складе. Водитель заявил, что он никаких выстрелов не слышал. Вывод следователя: если кассир говорит правду, то водитель вводит следствие в заблуждение; не могут кассир и водитель одновременно говорить правду.
Введем обозначения для высказываний:
А = «Кассир сказала правду»,
В = «Водитель находился в комнате отдыха»,
С = «Комната отдыха находится вблизи склада»,
D= «Водитель слышал выстрелы»,
Е = «Водитель сказал правду».
Посылки следователя:
Если кассир сказала правду, то водитель находился в комнате отдыха—
Р1 = А -> В.
Если водитель находился в комнате отдыха, то он должен был слышать все, что делается на складе—
Р2 = В -> С.
Если он имел возможность слышать, что делается на складе, то он слышал и выстрелы—
Р3 = С -> D.
Если верить водителю, то он не слышал выстрелов—
.
Заключение следователя:
Водитель меня обманывает при условии, что кассир говорит правду-
.
Кассир и водитель одновременно говорят правду —
Формальная запись легенды:
.
Доказать истинность следствия С: аксиоматическим методом не составит труда. Для этого нужно воспользоваться тождеством:
,
и затем трижды применить закон транзитивности. Заключение С2 ошибочно, так как
,
что означает
или
,
а это противоречит аксиоме порядка.
Теперь составим таблицу истинности (табл. 1.22) , в которой под Р понимается обобщенная причина, т.е. конъюнкция всех Р.
Таблица 1.22
|
n |
A |
B |
C |
D |
E |
P1 |
P2 |
P3 |
P4 |
P |
C1 |
C2 |
C3 |
C4 |
C5 |
C6 |
C7 |
C8 |
|
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
0 |
1 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
|
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
0 |
1 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
|
2 |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
0 |
0 |
1 |
1 |
0 |
0 |
0 |
|
3 |
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
1 |
1 |
0 |
0 |
0 |
|
4 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
1 |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
|
5 |
0 |
0 |
1 |
0 |
1 |
1 |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
|
6 |
0 |
0 |
1 |
1 |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
0 |
0 |
1 |
1 |
0 |
0 |
1 |
|
7 |
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
1 |
1 |
0 |
0 |
0 |
|
8 |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
1 |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
|
9 |
0 |
1 |
0 |
0 |
1 |
1 |
0 |
1 |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
|
10 |
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
1 |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
|
11 |
0 |
1 |
0 |
1 |
1 |
1 |
0 |
1 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
|
12 |
0 |
1 |
1 |
0 |
0 |
1 |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
0 |
1 |
1 |
0 |
|
13 |
0 |
1 |
1 |
0 |
1 |
1 |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
|
14 |
0 |
1 |
1 |
1 |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
|
15 |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
0 |
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
|
16 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
|
17 |
1 |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
1 |
1 |
1 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
|
18 |
1 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
|
19 |
1 |
0 |
0 |
1 |
1 |
0 |
1 |
1 |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
|
20 |
1 |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
|
21 |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
|
22 |
1 |
0 |
1 |
1 |
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
0 |
1 |
0 |
0 |
1 |
1 |
0 |
1 |
1 |
|
23 |
1 |
0 |
1 |
1 |
1 |
0 |
1 |
1 |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
|
24 |
1 |
1 |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
1 |
1 |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
|
25 |
1 |
1 |
0 |
0 |
1 |
1 |
0 |
1 |
1 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
|
26 |
1 |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
1 |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
|
27 |
1 |
1 |
0 |
1 |
1 |
1 |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
|
28 |
1 |
1 |
1 |
0 |
0 |
1 |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
0 |
|
29 |
1 |
1 |
1 |
0 |
1 |
1 |
1 |
0 |
1 |
0 |
0 |
1 |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
|
30 |
1 |
1 |
1 |
1 |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
|
31 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
Клауза считается истинной, если единицы следствия (С1) накрывают все единицы обобщенной причины (Р), т.е. единицы обобщенной причины образуют подмножество единиц следствия. Это требование выполняется для следствияC1, так как
Р = {0, 8,_12, 14, 15, 16}
{0,
... 16, ...} = С1,
но не для С2 (
),
так как
Р = {0, 8, 12, 14, 15, 16}
{18,
20, 22, 24, 26, 28, 30} = С2.
С помощью скорректированной табл. 1.22 нетрудно установить справедливость тавтологии, составленной из этих же посылок, —
,
и противоречия —
,
а также любых других клауз, полученных из первоначальной путем эквивалентных преобразований, например:
.
Если C1 заменить на С2, то во всех указанных случаях условие причинно-следственного отношения нарушится и клаузы обратятся в ложные метавысказывания.
Заключения С1 и С2, настолько очевидны, что никакой следователь в этом случае не стал бы прибегать к таблицам истинности. Но трудно найти такого следователя, который только путем одних рассуждений смог бы правильно выбрать из двух нижепредствленных заключений истинное:
Водитель обманывает, он находился в комнате отдыха, а комната отдыха действительно расположена рядом со складом — все это так, но при условии, что кассир сказала правду или что водитель слышал выстрелы —
.
Водитель обманывает, он слышал выстрелы, а комната отдыха действительно расположена рядом со складом — все это так, но при условии, что кассир сказала правду или что водитель находился в комнате отдыха —
.
Единичные наборы для заключений С3 и С4 тоже приведены в табл. 1.22.
Р(Таблицу можно построить вExcel, логические операции выражаются через Мин или Макс) Р
Для заключения С3 в строках ? и ? стоят нули, следовательно, условие причинно-следственного отношения не выполняется, и поэтому С3 является ложным заключением. Для заключения С4 все его единицы накрывают единицы обобщенной посылки Р, Следовательно, С4 является истинным заключением.
Истинность заключения тем очевиднее, чем большим числом его единиц накрываются единицы обобщенной причины. Отсюда можно составить объективный критерий для оценки логических способностей человека.
Вообще, опытный логик прежде всего должен построить все совместимые ряды событий. В нашем случае таких рядов 6 (они соответствуют ??????? строкам табл. 1.22). Их объединение даст предельный случай условия выполнения причинно-следственного отношения:
А, В, С, D, Ё ; А, В, С,D, Ё ; А, В, С,D, Ё ; А, В, С,D, Ё ; А, В, С,D, Ё ; А, В, С,D, Е .
Перед нами не что иное как СДНФ, отвечающая нашей конкретной причине Р. Всевозможные покрытия шести конституент дают множество истинных следствий. Так, заключения —
С1=А;Ё , С4 = (А, В); (С, D, Ё)
покрывают все шесть конституент; они — истинные. Что касается двух других заключений -
С2 = А,Е , С3 = (А,В);(С,В,Ё),
то они не покрывают все или отдельные конституенты, значит являются ложными следствиями.
Не надо знать комбинаторный анализ, чтобы ощутить все многообразие возможных покрытий, т.е. истинных следствий из заданных причин. Однако опытный следователь должен уметь определять три вещи — минимальную нормальную форму (МНФ), минимальное и трансверсальное покрытия.
Нахождением точных МНФ по известной СДНФ мы занимались в п. 1.2. Минимизируя одним из известных способов нашу СДНФ, получим следующую МНФ:
А, В, С, D; А, В,D, Ё ; В, С,D, Ё ;
Минимальное покрытие — это покрытие с наименьшим числом термов. Мы его уже знаем — это заключение С1. В него входят два решающих высказывания, связанные с правдивостью кассира (А) и правдивостью водителя (Е). Все остальные утверждения (В, С, D) являются второстепенными и могут выступать в результирующем заключении совместно с А и Е.
Трансверсальное покрытие должно включать все имеющиеся термы. Для нашего конкретного примера существуют четыре трансверсальных покрытия:
А; В, С, D, Ё А, В; С,D, Ё А, В, С;D, Ё А, В, С,D; Ё .
Как видим, среди выписанных покрытий находится и заключение С4, которое мы уже проинтерпретировали в импликативной форме. Интерпретация заключений через ДНФ может показаться более предпочтительной. Возьмем для примера заключение
С5 = А, B,C;D, Ё.
Оно предполагает три исхода истинного значения при совместном действии всех пяти факторов:
А, В, С= 1 D, Ё = 0 , А, В, С = 0D,E= 1 , А, В, С-1D,E=l.
Именно трансверсальные покрытия дают наиболее полную картину возможных следствий из сформулированных посылок.