Тема 4. Степенные ряды
Основные понятия. Теорема Абеля. Интервал и
радиус сходимости степенного ряда
Л и т e р а т у р а. [1], Т 2, §16, п.16.1, §17, п.17.1, 17.2.
Разложение функции в степенные ряды.
Ряды Тейлора и Маклорена
Л и т e р а т у р а. [1], Т 2, §18, п.18.1,18.2.
Некоторые приложения степенных рядов
Л и т e р а т у р а. [1], Т 2, §19, п.19.1-19.3.
Указания к выполнению контрольной работы.
Ниже приведена таблица номеров задач, входящих в контрольную работу №4, которую выполняют студенты в третьем семестре.
Студент должен выполнить контрольные задания по варианту, номер которого совпадает с последней цифрой его учебного номера (шифра).
Вариант |
Номера задач контрольных заданий |
|
4 |
|
|
1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 |
1 11 21 31 41 2 12 22 32 42 3 13 23 33 43 4 14 24 34 44 5 15 25 35 45 6 16 26 36 46 7 17 27 37 47 8 18 28 38 48 9 19 29 39 49 10 20 30 40 50 |
51 61 52 62 53 63 54 64 55 65 56 66 57 67 58 68 59 69 60 70 |
Задачи для контрольных заданий
Комплексные числа
1-10. Даны два комплексных числа z1 и z2. Требуется:
1) записать числа в тригонометрической форме;
2) найти частное z1/z2 комплексных чисел в
алгебраической и тригонометрической формах;
3) извлечь корень четвертой степени из числа z1 ;
4) возвести в пятнадцатую степень число z2 .
1.
z1
=-1+i,
z2=1-
i.
2. z1=1+ i, z2=-1-i.
3. z1=-3+ i, z2 =2+2i.
4. z1=3- i, z2=-2+2i.
5. z1 =-1- i, z2=1+i.
6. z1=-1+ i, z2=-2-2i.
7. z1 =5+5i, z2=1-i.
8. z1 =-4+4i, z2=-3- i.
9. z1 =-5-5i, z2=-6+6i.
10. z1=-6-6i, z2=-4-4i.
2. Дифференциальные уравнения
11-30. Найти общее решение дифференциального уравнения.
11.
хуy'=
1+y2.
21.
12. 3xy'=y-1. 22. xy''+2y'=x3, y(1)=0, y'(1)=0.
13.
y'x3=2y.
23.
14. 1+y=(х+1)y'. 24. yy''=3y'2, y(1)=1, y'(1)=1.
15. y'=5e2y . 25. 2xy''=1-(y')2, y(1)=3, y'(1)=-1.
16. x2 y'+y2=0. 26. y'''=e3x, y(0)=0, y'(0)=1, y''(0)=1/3.
17. ydy=(y2+1)xdx. 27. xy''=1+y', y(0,5)=0,5, y'(0,5)=1.
18. xy'=y+1. 28. (3+2x)y''+2y'=0, y(0)=0, y'(0)=-2
19. 2y'
=y.
29.
(1+x)y''+y'=0, y(0)=3, y'(0)=2.
20.
2xy'-y=1. 30.
y''+
=x2,
y(1)=0, y'(1)=0.
31-40. Найти частное решение дифференциального уравнения y''+py'+qy=f(x), удовлетворяющее начальным условиям y(0)=y0, y'(0)=y'0.
31. y''+4y'-12y=8sin2x; y(0)=0, y'(0)=0.
32. y''-6y'+9y=x2-x+3; y(0)=4/3, y'(0)=1/27.
33. y''+4y=e-2х; y(0)=0, y'(0)=0.
34. y''-2y'+5y=xe2х; y(0)=1 y'(0)=0.
35. y''+5y'+6y=12cos2x; y(0)=1, y'(0)=3.
36. y''-5y'+6y=(12x-7)e-х; y(0)=0, y'(0)=0.
37. y'' 5- 04y' 5+ 013y=26x+5; y(0)=1, y'(0)=0.
38. y''-4y'=16x2+1; y(0)=2, y'(0)=3.
39. y''-2y'+y=16eх; y(0)=1, y'(0)=2.
40. y''+6y'+9y=10e-3х; y(0)=3, y'(0)=2.
41-50. Дана система линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами:
.
Требуется:
1) методом исключения найти частное решение системы, удовлетворяющее заданным начальным условиям;
2) записать данную систему в матричной форме и найти ее частное решение.
41.
42.
43.
44.
45.
46.
47.
48.
49.
50.
51-60. Исследовать на сходимость числовые ряды.
51.
52.
53.
54.
55.
56.
57.
58.
59.
60.
61-70. Определить интервал сходимости степенного ряда и исследовать поведение ряда на границах интервала сходимости.
61.
62.
63.
64.
65.
66.
67.
68.
69.
70.
