2. Свойства. Пусть V – евклидово пространство. Тогда
10. , , V ( + ) = +
Доказательство.
( + ) = ( + ) = + = +
20.
ℝ,
,
V
(λ
)
= λ (
)
Доказательство.
(λ ) = (λ ) = λ( ) = λ ( )
30.
V
= (0
)
=
0(
)
= 0.
Доказательство. Следует из леммы 1.
Лемма1. Пусть V – вещественное пространство со скалярным умножением. Тогда = =0 V .
Доказательство. = + ( + ) = + . = + 0. Тогда + = + 0. По закону сокращения получим = 0. ЧТД.
3. Теорема . Пусть V – комплексное n-мерное векторное пространство. Тогда на V существует эрмитово произведение.
Доказательство. Т.к. V – n-мерное пространство, то в V существует базис, состоящий из n векторов.
Пусть
базис V. Тогда
,
V
,
.
Зададим отображение V
Vℂ
по правилу
=
.
Покажем, что оно является эрмитовым произведением.
а) С учетом свойств
комплексно-сопряженных чисел,
получим
=
=
=
=
=
=
б) Пусть
V . Тогда (
+
)
=
=
+
=
+
в) ℂ :
(λ
)
=
=
=
= λ(
)
г)
=
=
=
,
где
ℝ,
,
причем
=0 ,
=
4. Свойства эрмитова произведения. , , V, ℂ
10. ( + ) = +
Доказательство.
(
+
)
=
=
=
+
ч.т.д
20.
(λ
)
=
Доказательство.
(λ
)
=
=
ч.т.д
30. = = 0.
Доказательство.
= ( + ) = +
= + 0 + = + 0 = 0. ч.т.д
5. Свойства длины вектора: V
10. |
|
0, причем |
|
= 0
=
Доказательство.
Евклидово пространство:
|
|
=
≥0, т.к.
по определению 1, причем
|
|
= 0
=0
=
.
Унитарное пространство: | | = 0, т.к. по определению 5, причем | | = 0 =0 = .
20. Если
ℂ, то |λ
|
= |λ||
|
Доказательство.
|λ
|
=
,
где
6. Теорема . Пусть V – n–мерное евклидово пространство, или унитарное пространство. Тогда любая система ненулевых ортогональных векторов из V линейно – независима.
Доказательство.
Пусть
(1) – ортогональная система ненулевых
векторов из V. Покажем,
что (1) линейно независима.
Рассмотрим линейную
комбинацию
(2).
Умножим скалярно обе
части неравенства (2) на вектор
,
:
.
По свойству билинейности получим:
По условию, система
(1) ортогональна. Тогда
.
Т.к.
,
значит
=0
.
Т.о., система (1) линейно – независима. ч.т.д.
7. Теорема . Пусть V – n–мерное евклидово или унитарное пространство. Тогда любая ортогональная система ненулевых векторов из V может быть дополнена до ортогонального базиса.
Доказательство. Пусть (1) - ортогональная система не нулевых векторов из V. По теореме 5 , система (1) линейно независима. Значит, систему (1) можно дополнить до базиса V.
Пусть
(2) – базис векторного пространства V.
Подправим базис (2) так, чтобы из него
получился ортогональный базис. Подправим
вектор
следующим образом:
заменим
вектором
,
таким, что
ортогонален векторам
:
=
(3), причем будем полагать, что
выбраны так, что вектор
ортогонален всем предыдущим векторам
системы (2).
Найдем коэффициенты равенства (3). Для этого умножим скалярно обе части равенства (3) на :
=
=
,
,
(4)
Формула (4) позволяет
найти вектор
,
который ортогонален всем векторам
,
т.е.
,
- ортогональные векторы.Отметим, что
согласно теореме 2,
,
линейно независима. Значит,
.
Т.о.
,
- ортогональная система ненулевых
векторов.
Применим этот процесс
– процесс ортогонализации – к вектору
,
т.е. заменим его вектором
,
который будет ортогонален векторам
,
.
Продолжая этот процесс,
через конечное число шагов получим
,
,…,
ортогональный базис V.
ч.т.д.
8.
Теорема . V
– n- мерное евклидово
пространство,
…
- ортонормированный базис V.
Тогда скалярное умножение относительно
этого базиса является стандартным, т.е
если
,
V,
=
,
=
,
причем
=
Доказательство.
Пусть
,
V,
=
,
=
=
= (
+
)
(
)
=
+
+
+
+…+
=
=
=
=
Раздел №3.
1. Теорема . Множество всех векторов в пространстве образует абелеву группу относительно операции сложения векторов.
Доказательство. Множество всех векторов замкнуто относительно операции сложения, так как сумма векторов по определению 8 является вектором.
Ассоциативность:
Пусть
,
,
.
По определению 8,
,
ассоциативность доказана.
2. Существует нейтральный
элемент
(см. опр.6), такой что
3.
существует противоположный вектор (см.
опр.7)
,
такой что
4. Коммутативность операции сложения
,
(1) см рис. 6.
Отложим теперь
.
Тогда OABC – параллелограмм.
Отсюда
.
Тогда
(2). Из (1) и (2) следует
.
Теорема доказана.
2.
Теорема . Пусть на плоскости
даны два неколлинеарных вектора
и
.
Любой вектор
на
плоскости можно представить в виде
,
где
Î
ℝ, причем такое
представление единственно.
Доказательство. I
. Существование. Если
или
,
то
||
,
что противоречит с условием, следовательно,
и
.
Если
||
,
то
,
для некоторого
Î
ℝ (см. опр.9) и
искомое разложение вектора
.
Если
||
аналогично существует
Î
ℝ:
,
т.е.
.
Если ∦ и ∦ , отложим , , от одной точки O. Пусть .
Проведем прямые AP
и AQ, такие что
||
AQ и
||
AP Тогда
||
,
следовательно,
=
,
||
,
следовательно,
=
для некоторых
Î
ℝ.
-
искомое разложение.
II.
Единственность. Пусть
,
где, например,
,
тогда, вычитая почленно, получим
,
где
.
Далее,
,
| :
,
откуда следует по опр.9, что
||
,
противоречие условию. Теорема доказана.
Аналогично доказывается
3.
Теорема. Пусть в аффинной
системе координат {O,
,
,
}
векторы заданы своими координатами
,
,
тогда умножение вектора на скаляр и
сложение векторов производится
покоординатно, т.е.
1.
2.
Доказательство.
1. Так как
,
то
(т.2)
,
т.е.
2. Так как
,
то
+
=(т.1,
т.2)=
,
то есть