Доказательство теорем.
Раздел №1.
1.
Теорема. Пусть
и
– векторные пространства над полем
,
.
Тогда
:
.
.
.
Доказательство.
Так как
,
то
.Так как
,
то
Методом математической индукции:
Для
:
- верно.Предположим, что для
:
.Докажем, что для
:
.
Действительно,
.
2. Теорема.
Пусть
– базис векторного пространства
над полем
.
– векторное пространство над полем
.
Если
,
то
- однозначно определяется заданием
образов базисных векторов.
Доказательство.
Покажем, что
– однозначно определено образами
.
Пусть
,
тогда
- единственное разложение вектора
по базису
.
Следовательно,
- единственное представление вектора
относительно векторов
.Покажем, что отображение однозначно определяется заданием образов базисных векторов. Допустим, что , по правилу
– некоторое другое линейное отображение.
Тогда
.
Следовательно,
.
3.
Теорема. Пусть
,
– базис
,
– матрица линейного оператора
относительно базиса. Если
,
то
.
Доказательство.
Пусть
,
тогда
,
следовательно,
.
Из
,
следует, что
.
4.
Теорема. Пусть
,
–
-мерное
векторное пространство над полем
.
Тогда:
- подпространство
.- Подпространство .
Доказательство. Непосредственной проверкой критерия подпространства.
Покажем, что - подпространство :
.
.
Покажем, что - подпространство .
.
.
5.
Теорема. Пусть
и
- координатный вектор столбец вектора
в базисе (1),
- координатный вектор столбец вектора
в базисе (2).
– матрица перехода от базиса (1) к базису
(2).
Тогда
или
Доказательство.
Так как
в базисе (1), то
.
Аналогично,
.
Следовательно,
.
Так как
– матрица перехода от базиса (1) к базису
(2), то
.
Таким образом, получаем что или
6.
Теорема. Пусть
,
–
-мерное
векторное пространство над полем
.
– матрица линейного оператора
в базисе (1),
- матрица линейного оператора
в базисе (2). Если
– матрица перехода от базиса (1) к базису
(2), то
.
Доказательство.
Так как
– матрица линейного оператора
в базисе (1), то
.
Аналогично, для матрицы
:
.
Так как
– матрица перехода от базиса (1) к базису
(2), то
.
И
7. Пусть Vn
– n-мерное векторное
пространство над полем P,
(1) – базис Vn,
- линейный оператор векторного пространства
Vn.
Найдём все собственные векторы и все
собственные значения линейного оператора
.
Пусть
– собственный вектор линейного оператора
.
Найдём
.
По
определению 1
,
где λ
P
. С другой стороны,
.
Поэтому
=
,
т.е.
.
Пусть
- матрица линейного оператора
в базисе (1)
(2).
Раздел №2.
1. Теорема 1. Пусть V – n-мерное вещественное векторное пространство. Тогда на V существует ненулевое скалярное умножение.
Доказательство. Т.к. V – n-мерное пространство, то в V существует базис, состоящий из n векторов.
Пусть
..,
- базис V. Тогда 
,
V
,
.
Зададим отображение
: V
W
ℝ по правилу
,
V
W
((
,
))
=
=
.
Покажем, что является скалярным умножением.
а)
,
V
:
=
=
=
б) Пусть
V.
Тогда (
+
)
=
=
=
+
=
+
.
в) 
ℝ :
(
)
=
=
=
=
(
)
.
г)
=
=
0, причем
=
0
= 0, i =
.
Покажем, что оно не нулевое.
=
1
+
0
+…+
0
= 1 0
Ǝ хотя бы 1 вектор,
для которого скалярное произведение
не нулевое.