Частные производные высших порядков

Мы уже заметили, что частные производные первого порядка   мы можем рассматривать, в предположении их существования, как функции, заданные в некоторой области пространства   переменных   . От каждой из этих функций   , в свою очередь, можно найти частные производные:   производных от   

19. 

 производных от   :

19. 

20. и так далее до   ; всего получается   производных   где   . Производная   обозначается также   или   . Эти производные называются частными производными второго порядка от функции   .

21. Если   , то есть если второе дифференцирование ведётся по той же переменной   , что и первое, то частная производная второго порядка   называется чистой частной производной второго порядка по переменной   и более кратко обозначается   .

22. Если же   , то частная производная второго порядка   называется смешанной частной производной второго порядка.

23. Итак, для функции   можно отыскать   чистых частных производных второго порядка и   смешанных. Ниже мы увидим, что при некоторых дополнительных предположениях смешанные частные производные   и   , отличающиеся порядком дифференцирований, совпадают, так что различных смешанных производных второго порядка оказывается не   , а вдвое меньше.

Частные производные

Определение. Пусть в некоторой области задана функция z = f(x, y). Возьмем произвольную точку М(х, у) и зададим приращение Dх к переменной х. Тогда величина Dxz = f( x + Dx, y) – f(x, y) называется частным приращением функции по х.Можно записать

. Тогда   называется частной производной функции z = f(x, y) по х. Обозначение:  Аналогично определяется частная производная функции по у.

Геометрическим смыслом частной производной (допустим  ) является тангенс угла наклона касательной, проведенной в точке N0(x0, y0, z0) к сечению поверхности плоскостью у = у0.Полное приращение и полный дифференциалОпределение. Для функции f(x, y) выражение Dz = f( x + Dx, y + Dy) – f(x, y) называется полным приращением.Определение. Выражение   называется полным приращением функции f(x, y) в некоторой точке (х, у), где a1 и a2 – бесконечно малые функции при Dх -> 0 и Dу -> 0 соответственно.Определение: Полным дифференциалом функции z = f(x, y) называется главная линейная относительно Dх и Dу приращения функции Dz в точке (х, у).

Для функции произвольного числа переменных:

Частные производные высших порядковЕсли функция f(x, y) определена в некоторой области D, то ее частные производные   и   тоже будут определены в той же области или ее части.  Будем называть эти производные частными производными первого порядка. Производные этих функций будут частными производными второго порядка.

    Продолжая дифференцировать полученные равенства, получим частные производные более высоких порядков.

Определение. Частные производные вида     и т.д. называются смешанными производными.

Производные и дифференциалы высших порядков

Предположим, что функция f'(x) является дифференцируемой в некоторой точке x интервала (a,b), то есть имеет в этой точке производную. Тогда данную производную называют второй произвоьдной и обозначают f⁽²⁾(x), f''(x) или y⁽²⁾, y''(x). Аналогично можно ввести понятие второй , третьей и т. д. производных. По индукции можно ввести понятие n- ой производной:

y(n) = (y(n-1))'.

(6)

Функцию, имеющую на некотором множестве конечную производную порядка n,называют n раз дифференцируемой на этом множестве. Методика нахождения производных высших порядков предполагает умение находить производные первого порядка, о чем говорит формула (6).

Если u(x), v(x) две дифференцируемые функции, то для нахождения производной их произведения справедлива формула Лейбница

(u(x)v(x))⁽ⁿ⁾ = u(n)v+nu(n-1)v'+(n(n-1)/2)u(n-2)v''+...+ uv(n) =

= _{k =} 0ⁿC_n^ku(n-k)v(k),

где

C_n^k = (n(n-1)(n-2)...(n-k+1))/k!, u(0) = u, v(0) = v.

Данная формула Лейбница особенно эффективна в случае, когда одна из перемножаемых функций имеет конечное число отличных от нуля производных и легко вычислить производные другой функции.

Пример 9. Пусть y = e^x(x²-1). Найти y⁽¹⁰⁾. Положим u(x) = e^x, v(x) = (x²-1). Согласно формуле Лейбница

y(10) = (e^x)⁽²⁵⁾(x2-1)+10(e^x)⁽⁹⁾(x2-1)'+(10· 9/2) (e^x)⁽⁸⁾(x2-1)'',

так как следующие слагаемые равны нулю. Поэтому

y(10) = e^x(x2-1)+10e^x2x+(10· 9/2)e^x (2) = e^x(x2+20x+89)

Рассмотрим выражение для первого дифференциала

dy = f'(x)dx.

Пусть функция, стоящая в правой части, является дифференцируемой функцией в данной точке x. Для этого достаточно, чтобы y = f(x), была дифференцируема два раза в данной точке x, а аргумент либо является независимой переменной, либо представляет собой дважды дифференцируемую функцию.

Теорема 8 (теорема Тейлора). Пусть функция f(x) имеет в точке x = a и некоторой ее окрестности производные порядка n+1. Тогда между точками a и x a найдется такая точка  , что справедлива следующая формула:

(10)

Формула (10) называется формулой Тейлора, а выражение

представляет остаточный член в форме Лагранжа. Заметим, что если функцияf(n+1)(x) ограничена в окрестности точки a, тогда остаточный член является бесконечно малой при x a более высокого порядка, чем (x-a)ⁿ. Таким образом, остаточный член можно записать в виде

R_n+1(x) = o((x-a)ⁿ) при x a.

Данная форма записи остаточного члена называется формой Пеано.

Формулой Маклорена называется формула Тейлора при a = 0:

(11)

Остаточный член в форме Пеано для формулы Маклорена имеет вид

R_n+1 = o(xⁿ) при x 0.

Приведем разложения некоторых элементарных функций по формуле Маклорена

. Экстремум функции нескольких переменных. Необходимые и достаточные условия существования экстремума Определение 7. Точка   называется точкой минимума (максимума) функции  , если существует такая окрестность точки  , что для всех точек   из этой окрестности выполняется неравенство  , ( ). Точки минимума и максимума функции   называются точками экстремума, а значения функции в этих точках – экстремумами функции (минимумом и максимумом соответственно). Заметим, что минимум и максимум функции имеют локальный характер, так как значение функции в точке   сравнивается с ее значениями в точках, достаточно близких к  . Теорема 1 (необходимые условия экстремума). Если 

 – точка экстремума дифференцируемой функции  , то ее частные производные   и   в этой точке равны нулю:    . Точки, в которых частные производные первого порядка равны нулю, называются критическими или стационарными. В критических точках функция   может иметь экстремум, а может и не иметь. Теорема 2 (достаточное условие экстремума). Пусть функция  : а) определена в некоторой окрестности критической точки  , в которой   и  ; б) имеет непрерывные частные производные второго порядка      . Тогда, если  , то функция   в точке   имеет экстремум: максимум, если А<0; минимум, если А>0; если  , то функция   в точке   экстремума не имеет. В случае   вопрос о наличии экстремума остается открытым.