. Производная сложной функции

Т е о р е м а  1. Если функция   имеет производную в точке  , а функция   имеет производную в точке  , то сложная функция

                                                     (1)

имеет производную (по  ) в точке   и справедливо равенство

                                                      (2)

или

.                                                             (3)

Д о к а з а т е л ь с т в о. Зададим  , ему соответствует значение  . Придадим   приращение  , это вызовет приращение  . Так как функция   имеет производную в точке  , то на основании равенства (2) § 4.1, имеем

,                                               (4)

где   при 

Будем считать, что  . Равенство (4) при этом соглашении выполняется, т. к. если подставить в него  , то получится  .

Разделим теперь равенство (4) на  :

.                                               (5)

Пусть    стремится к нулю. Тогда  , потому что функция   имеет производную в точке   и, следовательно, непрерывна.

Переходим в равенство (5) к пределу при  . Тогда   и  , поэтому получим

.

Теорема доказана.

Формула (1) может быть усложнена. Например, если  ,  ,   и все три функции имеют производные в соответствующих точках, то  .

.Неявные функции их производные.

Пункт 1.

Неявная функция от одной переменной.

Пусть 2-е переменные величины х и у связаны между собой уравнением  F(x,y)=0-1,где z=f(x,y)-фун 2-х переменных х и у определенные в некотором множ ДсR² .

Опр 1. Если для каждого значения х из некоторого промежутка х сущ одно или несколько значений у которые совместно с х удовлетворяют 1, то говорят что по средствам Ур. 1 на промежутке Х задается неявная функция  y=f(x) x принадлежит Х.

З ам1: из данного опр следует что переменная у есть фун переменной х. Х²/а²+ у²/в²=1-2 , у=в/а*√а²-х²-3 х=(-а,а) тоесть Х²/а²+ 1/в²(+-в/а*√а²-х²)²=1

Опр2. Если для всех точек х,у удовлетворяющих ур 1 переменную у можно аналитически выразить через переменную х, тоесть найти выражение f(x), такое что точка (х, f(x)) будет при любом х из Х, удов ур 1 , то фун y=f(x) наз явной функцией и так фун 3 является явной двухзначной фун от х. Следовательно теор устанавливает условие относящейся к фун z=f(x,y) определенной в области Д из R² которую обеспечивает так сущ однозначной неявной фун y=f(x), опр ур 1 так и непрерывность и дифирен этой фун  y=f(x).

Т 1. Пусть фун z=f(x,y):

1. Определена и непрерывна вместе со своими частными произ f′_x, F′_y в некоторой окрестности U(P₀,δ) в точке P₀ (х₀, у₀).

2. F (х₀, у₀)=0 однако производная по у отклоняется от 0.  F’_у (х₀, у₀)не=0 тогда: а)В указанной окрестности U(P₀,δ) в точке P₀уравнение 1 определяет переменною у, как однозначную функцию от х:у= f(x) такую что f(x₀)=y₀;  б)В промежутке (x₀- δ, x₀+ δ) фун f(x)- непрерывна.