5.10. Наглядное представление перевода чисел

1. Из 2-ной системы в 8-ную (двоично-восьмеричное изображение):

2. из 8-ной системы в 2–ную (восьмерично-двоичное изображение):

3. из 2-ной системы в 16-ную (двоично-шестнадцатеричное изображение):

4. из 16-ной системы в 2-ную (шестнадцатерично-двоичное изображение):

5.11.Правила арифметических действий в системах счисления (на примере двоичной системы)

Сложение в двоичной системе счисления осуществляется по правилам

0 + 0 = 0, 0 + 1 = 1, 1 + 0 = 1, 1 + 1 = 2₁₀ = 10₂ (единица идет в старший разряд).

Таблица вычитания в двоичной системе счисления имеет вид

0 – 0 = 0, 1 – 0 = 1, 1 – 1 = 0, 0 – 1 = 10 – 1 = 1 (единицу забираем у старшего разряда).

Таблица умножения в двоичной системе счисления имеет вид

0 x 0 = 0, 0 x 1 = 0, 1 x 0 = 0, 1 x 1 = 1.

Таблица деления в двоичной системе счисления имеет вид

0 : 0 = не определено, 1 : 0 = не определено, 0 : 1 = 0, 1 : 1 = 1.

5.12. Понятие обратного кода

Обратным кодом числа в системе с основанием р называется число в этой системе, получаемое заменой цифры, символа в каждом разряде числа на его дополнение до максимальной цифры в системе (то есть до р – 1).

Дополнительный код = обратный код + единица в младшем разряде.

Пример.

1. 10011 двоичное число,

01100 обратный код этого двоичного числа,

01101 дополнительный код этого двоичного числа;

2. 457 восьмеричное число,

321 дополнительный код;

3. А9 шестнадцатеричное число,

57 дополнительный код.

Вычитание с помощью дополнительного кода: найти дополнительный код вычитаемого такой же разрядности, как и уменьшаемое, и сложить этот код с уменьшаемым. Результатом вычитания будет полученная сумма без учета старшего разряда (отбрасывается).

Пример.

Выполним вычитание напрямую и через сложение (через дополнительный код):

5.13. Представления чисел в машинной арифметике

Целые числа в математике и их аналоги в p-разрядных арифметиках тождественны (по количеству) в рамках их представления с этой разрядностью. При этом можно отметить основные отличия представления чисел в поле памяти человека и в поле памяти p-разрядной арифметики:

1. бесконечное и счетное множество целых чисел представляется отрезком [–N; +N], где N – максимальное число, представимое в этой арифметике (многоточие – общее число единиц, равное n): N = (111 . . . 1)₂ ;

2. бесконечное и несчетное множество действительных чисел , располагающееся на числовой оси равномерно и плотно, представляется в p-разрядной арифметике множеством с неравномерной плотностью (сгущение у нуля и сжатость со стороны меньших чисел);

3. нуль во множестве действительных чисел в любой своей окрестности имеет множество чисел, а нуль в n-разрядной арифметике представлен изолированно.

С точки зрения обычной арифметики, например, в интервале (–1; 1) имеется бесконечное множество "плотно" расположенных точек, причем в любой окрестности каждой такой точки имеется хотя бы одна точка из этого множества. Такую арифметику называют часто регулярной арифметикой. Машинная же арифметика имеет следующие особенности. Она нерегулярна – точки интервала сгущаются около нуля; кроме того, в этом интервале точка х "изолирована" – если взять любую ее окрестность (х – а; х + а), где а – число, которое не превосходит машинного нуля (наименьшего представимого в машине числа), то в этом интервале нет других точек (отличных от х).

Говоря языком теории вероятности, плотности распределения чисел в регулярной и нерегулярной арифметике – различны, как, впрочем, плотности распределения целых и вещественных чисел в одной и той же арифметике. Множество вещественных чисел в машинной арифметике представляется как подмножество (определяемое разрядностью арифметики) множества рациональных чисел. Есть и другие особенности этих множеств (связанные, например, с выполнением операций), но указанные выше особенности – основные.