30.Миноры и алгебраические дополнения.
Пусть АКm,n .выберем k номеров строк i1,….,ik, и k номеров столбцов j1,…..,jk: i1<i2<…< ik j1<j2<…< jk
Def5:минором порядка k матрицы А называется определитель матрицы порядка k,образованной элементами, находящимися на пересечении выбранных строк и столбцов.
Обозначение:
Примеры: А=,,
Def 6: Если А – квадратная порядка n,то каждому минору порядка к можно поставить в соответствие дополнительный минорпорядкаn-k,элементы которого расположены на пересечении остальных строк и столбцов . Очевидно, что минор будет в свою очередь дополнительным к.
Алгебраическими дополнениями минора называется произведение дополнительного минора на:
Если mij=aij =>aij=(-1)i+j
Пример: => А22=(-1)2+2 =9
Теорема 1(о разложении определителя)
Если АКn,n и n>1,то detA равен сумме произведений элементов любой строки матрицы А на их алгебраические дополнения,те detA=ai1Ai1+…+ainAin, i=1,…n.
Доказательство: Пусть
A=.Тогда , выбравi-ю строку, определитель А можно представить как сумму: detA=, гдеi-я строка
Покажем, что =Aij. Переставляя n-j раз столбцы и n-i раз строки, получим :
Лемма 1: А=
Доказательство: detA====.
Рассмотрим Sn-1:. Очевидно,что()=,так что число инверсий виодно и тоже и значитdetA== =чтд
Вернемся к доказательству теоремы:=
=(-1)i+j=aij. чтд
Следствие(разложение по чужой строке)
Сумма произведений всех элементов какой-нибудь строки определителя на алгебраические дополнения соответствующих элементов другой строки равна нулю.
Доказательство: Пусть А= (aij)Кn,n .рассмотрим матрицу , получающуюся из А заменойi-ой строки на j-ю,оставляя j-ю прежней=>detA=0. Напишем разложение поi-ой строке: 0=det== =тк алгебраические дополнения к элементамi-ой строки у матрицы А и совпадают. чтд
Пример:
|A|===(-1)= =2=2(-54+140-150+84)=40
Следующая теорема обобщает теорему 1.
Теорема 2(теорема Лапласа)
Пусть матрице А порядка n произвольно выбраны k строк,1kn-1. Тогда сумма произведений всех миноров k-го порядка, содержащихся в выбранных строках, на их алгебраические дополнения равна detA.Те если i1,…ik – выбранные строки, то detA=(1),
где суммирование ведется по всевозможным значениям индексов j1,….jk, 1j1j2…jnn
Формула (1) называется формулой разложения определителя по k-й строке i1,…ik.
Доказательство: см Ильин, Поздяк стр 27
Примеры:
1)
2)
3)
Определитель Вандермонда.
Вычитая первый столбец из всех остальных, получаем:
4°. Определитель суммы и произведения матриц.
Непосредственно из линейного свойства определителя вытекает:
Теорема 1: Если A, B Є Kn, n, то det(A+B) равен сумме определителей матриц порядка n, каждая из которой получается следующим образом: часть строк (столбцов) берутся совпадающими с соответствующими строками (столбцами) матрицы A, а остальные – совпадающие с соответствующими строками (столбцами) матрицы B.
Иллюстрация, A,B Є K2, 2.
Теорема 2: Если A, B Є Kn, n, то det(AB)=det A·det B
Док-во: Рассмотрим матрицу D порядка 2n:, гдеOn – нулевая квадратная матрица порядка n,
Из примера 1 пункта 3° имеем, что det D=det A·det B.
Преобразуем теперь матрицу D. (n+1) строку умножим на a11, (n+2) – на a12, …, 2n-ую –на a1n и сложим с первой строкой. Тогда первая строка имеет вид: (0, …, 0, ¦ a1kbk1 … a1kbkn). Аналогично к i-ой строке прибавим (n+1), умноженную на ai1, (n+2) – на ai2, …, 2n-ую на ain. Имеем:
(0, …, 0, ¦ a1kbk1 … a1kbkn). Т.о., первые n строк принимают вид:
При таких преобразованиях определитель не меняется
где . НоТ.о. доказано, что
det C=det A·det B.
Следствие 1: Если A1, …, Ak Є Kn, n
Следствие 2: Из
5°. Обратная матрица. Пусть A – квадратная матрица порядка n над полем P.
Def1:Матрица В Є Pn, n называется обратной для A, если AB=En.
Def2: Квадратная матрица А называется невырожденной (или неособой), если
и вырожденной (особой), если detA=0.
Из теоремы 2 пункта 4° произведение матриц, одна из которых вырождена, будет вырожденной матрицей, а произведение двух невырожденных матриц дает невырожденную матрицу.
Def3: Матрицей присоединенной к матрице A, называется матрица
,
где Aij – алгебраическое дополнение элемента aij матрицы А.
Лемма: Для матриц A и AV справедливо
A·AV=AV·A=(detA)·En
Док-во: Пусть C= A·AV. Тогда
Итак, A·AV=detA·En. Аналогично AV·A=A·AV= (detA)·En
Теорема 1: Для того, чтобы для матрица A существовала обратная, необходимо и достаточно, чтобы матрица А была невырожденной.
Док-во:
Пусть для матрицы A
Замечание: итак
Пример:
Свойства обратных матриц: Пусть A, B Є Pn, n
Тогда
1° (A-1)-1=A
2°. (A-1)T=(AT)-1
3°. (A-1)K=(AK)-1
4°. det(A-1)=(detA)-1
5°. (AB)-1=B-1·A-1