§7. Определители

1⁰. Определение.

Пусть − коммутативное кольцо с единицей.

Определение 1. Определителем квадратной матрицы порядкас элементами изназывается элемент кольца:

==det ==,

где сумма берется по всем перестановкам  множества из элементов,() – знак перестановки.

Таким образом, из элементов составляются всевозможные произведенияизсомножителей, содержащих по одному элементу из каждого столбца и каждой строки. Всего слагаемых в сумме равно числу перестановок, т.е. равно.

Замечание. Определитель бывает только у квадратных матриц.

Иногда вместо определитель используют термин детерминант (по латыни).

Примеры.

1. Если , то матрицасостоит из одного элемента, т.е.. Тогда.

2. Если , то=. Формула для определителя в этом случае содержит 2!=2 слагаемых, соответствующих тождественной перестановке e=, ()=1, и перестановке=, ()=-1. Получаем

.

3. Если , то=. В этом формула для определителя содержит 3!=6 слагаемых, соответствующих перестановкам ₀=,(₀)=1, ₁=,(₁)=-1, ₂=,(₂)=1, ₃=,(₃)=-1, ₄=,(₄)=1, ₅=,(₅)=-1. Получаем

т.е.,

.

Слагаемые с положительными и отрицательными коэффициентами запоминаются по правилу Саррюса; а именно,

Примеры.

1) =14−3(-2)=10

2) =

=3−8+6−2=−1

3) =111=1 => det E_n=1 n

4) =

5) =?

6) =

7) =

Для определителей порядка большего 3 нет единых правил вычисления и, как правило, такие определители вычисляют с использованием свойств определителя.

2⁰. Транспонирование матриц. Определитель транспонированной матрицы.

Пусть =.

Определение 2. Матрица = называется транспонированной к матрице , если она получается следующим образом:-й столбец матрицысостоит из элементов-ой строки матрицы, расположенных в том же порядке.

Операция называетсятранспонированием.

Пример: А==>A^T=

Свойства операции транспонирования матриц.

1. (А^Т)^Т=А

2. (А+В)^Т=А^Т+В^Т

3. (А)^Т=А^Т

Доказательство свойств 1-3 − самостоятельно.

4. АК_m,n BК_n,p справедливо (АВ)^Т= В^ТА^Т

Доказательство: АК_m,n BК_n,p=>ABК_m,p=> (AB)^TК_p,m

Легко видеть, что В^ТК_р,n,A^TК_n,m=>A^TB^TК_p,m

Пусть - элемент матрицы (AB)^T,стоящий вi-й строке иj-том столбце =>=c_ji ,гдеc_ji – элементj-ой строки иi-того столбца матрицы АВ =>

=c_ji=,где а_jkA,b_kiB

Но а_jk=,b_ki=, гдеи- элементы А^Ти В^Т, соответственно =>, где последняя сумма – произведение элементовi-й строки В^Тнаj-й столбец А^Т,те-элемент В^ТА^Т=>(АВ)^Т= В^ТА^Тчтд.

5. (АВС)^Т=((АВ)С)^Т=С^Т(АВ)^Т=С^ТВ^ТА^Т

(А₁…А_К)^Т =А₁^Т …. А_К^Т

Def 4: если квадратная АК_n,n : A^T=A, то А называется симметричной, тогда а_ij=a_ji , если A^T= -A, те а_ij=-a_ji ,то А – называется кососимметричной (антисимметричной).

Свойство 1⁰:определитель транспонированной матрицы равен определителю исходной матрицы,те detA=detA^T

Доказательство:пусть А=(а_ij), A^T=(),тк detA и detA^Т имеют одинаковое количество членов(n!),то достаточно показать,что  член detA является членом detA^Т и наоборот.

Все члены detA имеют вид: и составлены из членов,находящихся в разных строках и столбцах=>этот же член является членомdetA^Т.верно и обратное => члены определителя одни и те же, осталось разобраться со знаками.

Знак равен().Этот член входит в detA^Т как и имеет знак(^-1)(см свойство 2 перестановок).=>т.к. (^-1)= () => определители detA^Т и detА являются суммами одинаковых членов с одинаковыми знаками=> detA^Т= detA. чтд

Следствие:всякая теорема об определителе остается справедливой, если слово строка заменить на слово столбец и наоборот.

Свойство 2⁰.Если одна из строк определителя состоит из 0,то определитель равен нулю.

Доказательство: на самом деле, пусть i-я строка нулевая,тк в каждый член определителя входит один её элемент => все члены нулевые=>detA=0 чтд

Свойство 3⁰.Если матрица BК_n,n получена из АК_n,n перестановкой каких-либо двух строк,то detB=-detA

Доказательство: пусть А=, В=(i),(j)-строки

Если входит в А,то все его члены и в В остаются в разных столбцах и строках=> он входит и вdetB.Для знак(),а в detB надо считать знак перестановки =эта перестановка получается из транспозицией в верхней строке =>она имеет противоположную четность, те ()=(i,j)()= -()=>все члены detA входят в detB с противоположным знаком=> detB=-detA чтд.

Свойство 4⁰:Определитель,содержащий две одинаковые строки,равен нулю

Доказательство:Пусть detA= и i,j-строки равны=>после их перестановки определитель равен -,но тк переставлены одинаковые строки=>он тот же самый=> =-=>=0.

Свойство 5⁰:Если В получена из А умножением некоторой строки на К, то detB=detA

Доказательство: В===detA

Свойство 6⁰:Если А содержит две пропорциональные строки,то detA=0

Доказательство:Пусть j-я строка равна i –строка => можно вынести из j-й строки(свойство 5)=>по свойству 4=>detA=detB=*0=0.чтд

Свойство 7⁰: Если все элементы -строки матрицы АК_n,n представлены в виде двух слагаемых:, тоdetA=, где , имеют все строки,кроме-ой,как в А,а -я строка состоит из ,а- из,те

Доказательство:detA== ==det+detчтд

Следствие: тоже самое, когда ,те суммаh слагаемых

Свойство 8⁰:Если одна из строк определители есть линейная комбинация его других строк, то определитель равен нулю.

Доказательство: Если -ая строка есть линейная комбинация остальных s строк 1sn-1, тоэлемент -ой строки –сумма s элементов=>по следствию к свойству 7⁰ определитель можно представить как сумму определителей, в каждом из которых -ая строка пропорциональна одной из строк=>они равны 0. чтд

Свойство 9⁰:Определитель не меняется, если к элементам одной из его строк прибавляются соответствующие элементы другой строки, умноженные на одно и тоже число.

Доказательство: Если к i-ой строке прибавляется j-ая строка, умноженная на ,то в новом определители i-ая строка равна а_ik+a_jk.тогда на основании 7⁰ этот определитель – это сумма двух определителей, один из которых равен ,а второй содержит две пропорциональные строки=>равен 0. чтд

Следствие:Определитель не менятся,если к одной его строке добавляется линейная комбинация других строк.