28.Достаточные услов локальн экстрем ф-ций нескол перемен.

При формулир достаточн услов локал экстрем ф-ции перемен важн роль играет 2-дифференц в точке М0 : , где =aji= . Опред:Квадрат формой наз знако-перемен определ, если она явл либо положит либо отриц определ. Опред: квалрат форма наз знако-перемен если она приним как строго положит так и отрицат значения. Опред: матрицей квадрат формы наз матрица: А= . Если все элем матрицы удовл условию: =aji, то такая матрица наз симметрической. Главными минорами симметрической матрицы наз определ:A1=a11, A2= ; An= . Теор о достат услов локал экстрем: пусть ф-ция u= f(x1,x2…xn), один раз дифференц в некоторой окрестн М0( , … ) и дважды дифференц в самой точке М0. Пусть М0 явл стационарн точкой ф-ции u= f(x1,x2…xn), тогда если второй дифференц этой ф-ции представл собой полож(отриц) определ квадр ф-мы от dx1,dx2..dxn ,то ф-ция в точке М0 имеет локал min(max), если же 2-ой дифференц этой ф-ции представл собой знако-перемен квадр ф-му, то и не имеет локал экстрем в М0. Замеч: пусть частн производ 2-го порядка ф-ции: u=f(x,y) в точке М0( , ) будут: =A; =C; M0=B. Пусть u=f(x,y) один раз дифференц в окрестн M0 и дважды дифференц в самой точке М0, тогда если в М0 выполн услов: AC-B2>0 то u=f(x,y) имеет в М0 локал max, если A>0 то в М0 ф-ция имеет локал min, если же в М0 ф-ция имеет AC-B2<0 , то u=f(x,y) не имеет в этой точке локал экстремума ф-ции.

28. Критерий Сильвестра

Теорема 2 (критерий Сильвестра) Для того, чтобы квадратичная форма была положительно определенной, необходимо и достаточно, чтобы все ее главные миноры были положительны: , .

Для того чтобы квадратичная форма была отрицательно определенной, необходимо и достаточно, чтобы знаки главных миноров ее матрицы чередовались следующим образом: , , ,

29.Определение наибольшего и наименьшего значения

функции в замкнутой области.

Пусть задана ф-я z=f(x,y) в замкнутой области Д.

F(x,y)=0  уравнение границы Д.

Требуется найти наибольшее и наименьшее

значения ф-ции в этой области.

Эти значения функция может достигать либо в

экстремальных точках внутри области, либо на границе

области, поэтому решение задачи делится на 2 этапа:

1.Сначала находим стационарные точки внутри области.

В этих тосках возможны экстремумы. Вычисляем

зачение заданной функции в этой точке.

2.Определяем наиб. и наим. Значение функции на

границе области.3.Сравниваем полученное значение

и выбираем наиб. и наим. знач.

30.Не явные ф-ции.

При решении различ физич задач приход сталкив с ситуац когда U=U(x1...xn) задаётся по средств функц-го Ур: F(U, x1...xn)=0 в этом случае говор что U как ф-ция аргум x1...xn задана не явно. Возник вопрос о том при каких услов функцион урав однознач разрешима относит U т.е. однозн опред явную ф-цию U=(x1...xn) а также эта явная ф-ция непрерыв и дифернцируема.

31.Вычисление частных производн неявно заданных ф-ций.

Пусть F(u, x1…xn) и выполн услов теоремы о сущ и дифференц неявной ф-ции тогда для поного приращ ф-ции

u= f(x1,x2…xn), справл выраж: ., где … , что частн производ неявно заданной ф-ции определ: … . Если мы хотим обеспеч сущ у неявно задан ф-ции частных производ 2-го порядка то треб усил требов налог на ф-ции F(u, x1…xn) т.е. необход чтобы F было дважды дифференц ф-ция Ф(u, x1…xn) можно рассм как сложн ф-цию x1, x2 частн произв этой сложн ф-ции по x1 и x2 наз полными произв Ф(u, x1…xn) по перемен x1, x2 и обозн: : по прав дифференц сложн ф-ции получ ф-лы для указан произв: : ; : . Частные произв 2-го порядка неявно задан ф-ций опред: ; ; .