![](/user_photo/2706_HbeT2.jpg)
- •1.Пространство rⁿ
- •2.Метрическое пространство, евклидово пространство.
- •3.Основные или важнейшие множества точек пространства
- •3.Функции n-переменных.
- •4.Сходимость в пространтсве Rn.
- •6.Предел функции нескольких переменных.
- •8.Повторные пределы.
- •9.Непрерывность функции нескольких переменных.
- •10.Непрерывность функции нескольких
- •11. Основрые свойства непрерывных функций нескольких переменных
- •12. Частные производные ф-ии нескольких переменных
- •13. Дифференцируемость ф-ии нескольких переменных
- •14. Дифференциал функции нескольких переменных
- •15. Достаточное условие дифференцируемости ф-ии нескольких переменных
- •16. Дифференцирование сложной ф-ии
- •17. Однородная функция. Теорема эйлера об однородных функциях
- •18. Инвариантность формы первого дифференциала функции нескольких переменных
- •19. Геометрический смысл дифференциуемости функции двух переменных
- •20. Производная по направлению
- •22.Частные производные высшего порядка.
- •23.Теорема о равенстве смешанных производных второго порядка ф-ции двух переменных.
- •24.Производные высших порядков.
- •27. Экстремум функции многих переменных.
- •28.Достаточные услов локальн экстрем ф-ций нескол перемен.
- •28. Критерий Сильвестра
- •29.Определение наибольшего и наименьшего значения
- •30.Не явные ф-ции.
- •31.Вычисление частных производн неявно заданных ф-ций.
- •32.Неявные ф-ции определ систем функцион уравнений.
- •33. Зависимость ф-и нескольких переменных
- •34.Функциональные матрици
- •35. Усл.Экстремум
- •36.Метод неопредёлённых множетелей Логранжа.
- •37.Числовой ряд. Сходимость, расходимость рядов.
- •38.Необход признак сходим ряда.
- •39. Признак сравнения рядов
- •40.Признак Даламбера.
- •41.Признак Коши.
- •42. Интегральный признак Коши
- •43. Признак Лейбница
- •44. Абсолютная сходимость рядов
- •45. Признаки Дирихле и Абеля
- •47.Функциональные последовательности и ряды.
- •48.Равномерная сходимость функциональных рядов.
- •49.Свойства равном сходящ функции рядов.
- •50.Степенные ряды.
- •55.Ряд Фурье для четн. И нечетн. Ф-ий:
- •56.Ряд Фурье для ф-ций заданных на отрезке .
48.Равномерная сходимость функциональных рядов.
Функцион
послед
наз равномерно сход к ф-ции f(x) на мн-ве
Х если
N=N(
)
n>N и всех х
Х
выполн нерав:
.
Рассмотр сход на мн-ве Х функц ряд:
для котор Sn(x)=
+un(x), тогда S(x)=
.
Опред: функцион ряд наз равномерн сходящ
на некотор мн-ве, если
равномерн сход на этом мн-ве приним во
вниман определ равном сход функц послед
получим след опред равном сход функцион
ряда: функцион ряд
наз равном сход на мн-ве Х если
N=N(
)
n>N и всех х
Х
выполн нерав:
.
Теор(кретер равном сходим функцион
ряда): функцион ряд
равном сход на мн-ве Х тогда и только
тогда когда
N=N(
)
n>N и всех х
Х
выполн
.
Теор Веерштрасса(достат признак
равномер сход функцион ряда): если члены
функцион ряда
определ на мн-ве Х и по модулю непревосх
соотв членовсходящ числов ряда с полож
членами:
0,
тоесть
,
то этот функцион ряд равном сход на
мн-ве Х. Д-во: если
сход то в соотв с кретер Коши
N=N(
)
n>N такой что
,
n>N илюбого натур p отсюда след что
любые n>N и всех х
:
,
тоесть в соотв с кретерием равном сходим
данный функцион ряд сход равном на
мн-ве Х.
49.Свойства равном сходящ функции рядов.
Теор1:если
ряд
сход равном на мн-ве Х на котором его
члены
непрер то сумма ряда S(x) явл непрер
ф-цией на мн-ве Х. Д-во: зафиксир произв
знач х0
Х,
пусть Sn(x) n-ая частичн сумма данного
ряда, rn(x) –остаток ряда после n-го члена,
тогда S(x)= Sn(x)+ rn(x),
=
+
rn(x)- rn(x0);
поскол ф-ции
непрер на мн-ве Х то и любое х конечн
сумма Sn(x) так же непрер на этом мн-ве.
Задав
можно указ
,
что при
будет выпол нерав:
т.к. ряд сход равном то
N=N(
)
n>N и всех х
Х
выполн нерав:
,
,
это означ что ф-ция S(x) непрер в точке
х0. Теор: пусть дан функцион ряд
если ф-ции
непрер на
и данный ряд сход равном на
тоесть
=S(x),
то ряд получ интегриров членов данного
ряда, так же равном сход на
причем
.
Д-во: пусть
=
;
rn(x)=
пусть
т.к. ряд сход равном то
тогда:
.
Теор: пусть дан ряд
пусть ф-ции
определ на отрез
имеют на нем непрер u’n(x), если на
данный ряд сход равномерн и равном сход
ряд составл из произв
,
то S(x) имеет производн: S’(x)=
это равенство означ, что равномерно
сходящ ряд можно почленно дифференцировать.
50.Степенные ряды.
Опред:
степенным рядом наз функционал ряд
вида:
где
-
действ числа, которые наз каэф ряда
степен рядом так же ряд: :
Теор Абеля:если степенн ряд
сходит при некотор знач
0
то он абсал сход при любом х для которого
Д-во: по услов ряд
- сходит поэтому по необход признаку
сходим:
,
поэтому существ число C>0 что для всех
n выполн нерав :
<c;
n<c
n
ряд
n
– сходит при
<1
поэтом абсал сход и данный ряд при
обсал велич
.
Следствие: если степен ряд
рассход при х1 то он расход и при любом
х для котор
Из теор Абеля след что если степен ряд
сход при
0
то он сход при
если он расход при х=х1 то он расход при
x<
;
x>
.
Определ: радиусом сходим степен ряда
наз число R токое что при
ряд сход, а при
ряд расход. Интервалом сходим ряда
наз интервал (-R;R) где R- радиус сходим
ряда; если степен ряд
сход в единств точке то считает R=0, если
он сход при любом х, то полог R=
.
Найд выраж радиуса сходим степен ряда
через его каэф для этого примен признак
Даламбера к исслед сходим ряда:
предпол
что an
0
=
,
тогда
=
ряд сходится при
и расход при
,
тоесть R-радиус сходим т.о. радиус сходим
степенного ряда определ выраж:R=
,
если этот придел сущ. Предпол что сущ
применяя признак Коши получ:
ряд сход если
следов радиус сход: R=
.
Свойств степенных рядов:1) степен ряд
сходит равном на отрезке
целиком принадл его интервалу сходим;
2) сумма степен ряда явл непрер ф-цией
на любом отрезке целиком пренадл его
интервалу сходим; 3) степен ряд можно
почленно интегрир по любому отрезку
целик пренадл его интервалу сходим; 4)
если степен ряд
имеет интерв (-R;R) и S(x) его сумма то ряд
получен почлен дифференц исходного
ряда имеет тот же интерв сход при чем
любое х
(-R;R):
S’(x)=
;
5) степен ряд можно почлен диференц
любое число раз в интерв его сходим.
Разлож некотор ф-ций в степен ряды:
рассм ряд
=1+х+х2+…
этот ряд явл геом прогресс и сход при
-1<x<1 сумма: S(x)=
эта ф-ла представл собой разлож в степен
ряд ф-ции: f(x)=
радиус сход R=1. Если вместо х подстав
–ч то получ разлож в степн ряд
ф-уи:f(x)=1-x+x2-x3…
интерг этот ряд по отр:
получ:
,
при х=1 этот ряд сход т.к. ln(1+1)=ln2=1-
при замене х на –х получ: ln(1-x)=-x-
-
ряд сход при
.
52.Ряд Тейлора:
Пусть ф-ия имеет в окр-ти точки производные любого порядка. Ряд
Наз-ся
рядом Тейлора ф-ии
в точке
.Если
,
то ряд Тейлора имеет вид
и
наз-ся рядом Маклорена.
54. Тригонометрический ряд Фурье:
Пусть
(
)
– ортогональная система функций в
.Выр-ие
.
Наз-ся обобщенным рядом Фурье по
ортогональной системе ф-ий (
).
Если (
)
– основная тригоном-ая система ф-ий,
то ряд наз-ся тригоном.рядом Фурье.