20. Производная по направлению

Для простоты рассмотрим ф-ию 3-х переменных . Предположим, что эта ф-ия определена в некоторой окрестности точки пространства и дифференцируема в точке . рассмотрим всевозможные лучи, выходящие из точки . каждый такой луч задает единственный вектор и определяет некоторое направление. Зафиксируем некоторый луч, выходящий из точки и определяющий некоторое направление, заданное вектором . Возьмем на прямой, содержащей этот луч производную отличную от точки точку и рассмотрим вектор . Пусть длина этого вектора . Т.к. вектор имеет коор-ты с одной стороны и коор-ты ( ), то получим , , , , ,

Эти рав-ва показывают, что на прямой, проходящей через точку и определенной единичным вектором ф-ия представляет собой сложную ф-ию одной независимой переменной вида , , , )

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Производная указанной сложной ф-ии по переменной , взятая в точке наз производной ф-ии по направлению, определяемому единичным вектором и обозначается

22.Частные производные высшего порядка.

Пусть задана функция 2х переменных z=f(x,y),найдем ее частные производные.

z/x=fx(x,y)

z/y=fy(x,y)

В общем случае, эти производные также являются функциями 2х и можно искать их частные производные. При этом получаем часные производные 2-ого и более порядков.Производные, в которых дифференцирование производится по разным переменным, называются смешанными.

Теорема: О независимости часных производных от порядка (последовательности) дифференцирования.

Две смешанные частные роизводные одного порядка, отличающиеся только порядком диф-я равны.

2z/xy=2z/yx - в следствии этого, при обозначении смешанных частных производных последовательность диф-я не указывается.

nz/xn-2y2

23.Теорема о равенстве смешанных производных второго порядка ф-ции двух переменных.

т.о. понят частн производ n-порядка ввод по идукции, переходя от первой частн произв к последующим,соотнош определ частн произв n-го порядка по x1i,x2i…xn-1i имеет вид: если не все индексы i1,i2…in совпад между собой, то частн производ n-го порядка наз смешанной производ n-го порядка. Замач: т.к. частн произв ф-ции u по аргум xi опрел как обыкнов произв ф-ции одной перемен xi, при фиксир знач остал перемен,то вычисл частн произв высших поряд производится по правилам вычисл обыкнов произв первого порядка. Опред: ф-ция u= f(x1,x2…xn) наз n-раз дифференц в точке М0 , … ) если все её частн произв порядка n-1 явл дифференц в этой точке ф-циями. Из определ след, что если u= f(x1,x2…xn) n-раз дифференц в М0, то при n>1её частн произв первого порядка n-1-раз дифференц в точке М0, при n>2 любая её частная произв второго порядека n-2 раза диференц в точке М0 и т.д. Теор: для того что бы ф=ция u= f(x1,x2…xn) была n-раз дифференц в М0, достат чтобы все её частн производн n-порядка были непрерыв в точке М0. Теор: пусть ф-ция u=f(x,y) дважды дифференц в точке М0(х0,y0), тогда в этой точке частн произв: равны между собой.Данная теорем утверж,что М0(х0,y0), имеет месть рав: , если в этой точке дифференц ф-ции: однако указан равенство имеет место и при услов сущ произ: ; ; но при дополнит требов непрер этих произ в указанной точке. Теор:пусть в некотор окрестн точки М0(х0,y0) ф-ции u=f(x,y) имеет: u’x,u’y, uxy”, u”yx, пусть произв : uxy”, u”yx, непрер в М0, тогда в этой точке: : uxy”= u”yx,. Теор: пусть ф-ция u= f(x1,x2…xn) n-раз дифферен в точке М0 , … ) тогда в этой точке знач любой смешан частной произв n-го рорядка не зав от того в каком порядке производится последов диференц. Замеч: в случае n-раз диференц ф-ции u= f(x1,x2…xn) любую частн производ n-порядка, можно запис виде: , где 1, 2…. n-целые числаудовл услов: =n.