3.Функции n-переменных.
Если каждой точки М из множ. {М} точек n-мерного евклидового пространства Rⁿ ставятся в соответствие по известному закону некоторое число U, то говорят ,что на множ. {М} задана функция U=f(М). Множ. {М} наз. областью задания функции U=f(М). число U соотв. данной точки М из множ. {М} наз. частным значениям функции в точке М.Совокупность всех частных значений функции наз. множ .значений этой функции т.к. точка М(х₁х₂…хn) то для функции U=f(М) используется обозначение U=f(х₁х₂…хn). Функцию n-переменных можно рассматривать как отображение некоторого множ. в простр. Rⁿ в некоторое множ. действит. чисел
4.Сходимость в пространтсве Rn.
ОРП
Последовательность
{Мn} точек евклидового пространства
наз. сходящейся если сущ. точка А этого
пространства такая, что для любого ε
>0 можно указать N-номер что при всех
n>N выполняется неравенство: ρ(МnА)<ε,
при этом точка А наз. пределом последоват.
{Мn} и обозначается
ОРП
последоват. {Мn} точек пространства
наз. фундаментальной или последовательностью
Коши, если для любого ε >0 сущ. N, что
при n>N и любого m≥0
выполняется неравенство ρ(
Mn)<ε
ОРП для того
чтобы последоват. {Мn} точек пространства
была сходящейся необходимо и достаточно,
чтобы она была фундаментальной.
6.Предел функции нескольких переменных.
По-Гейне:
число в наз. пределом функции U=f(М) в
точке А, если для любой сходящийся к А
последоват. {
}
точек множ.{М} все элементы
,
которой отлич. от А соответствует
числовая послед. значений функции
{f(
)}
сходящейся к числу В. по-Коши : число в
наз. пределом функции U=f(М) в точке А,
если для любого ε
>0 найдется отвечающее ему число δ>0
такое, что для любой точки М из
множ.{М} удовлетвор. условию 0<
ρ(МnА)<δ выполнялось неравенство /
f(М)-в/<δ
7.Критерий
Коши существования предела функции
нескольких переменных. Опр-е(предел
ф-ции в т.А по Коши):
Число b
наз-ся пределом ф-ции u=f(M)
в т.А если для любого ε>0 найдется
отвечающее ему число δ>0 такое что
для любой т.М из мн-ва
удовл. условию 0<ρ(M,A)<
δ вып. нер-во:
Опр-е: Говорят,
что ф-ция u=f(M)
удовл. условию Коши в т. М=А, если для
любого ε>0 найдется δ= δ(ε) >0, такое
что для любых точек М’,M’’
из множества задания ф-ции удовл.
условиям: 0<ρ(M’,A)<
δ, 0<ρ(M”,A)<
δ. Справедливо нер-во
Теорема(Критерий
Коши): Для
того чтобы ф-ция u=f(M)
имела конечны предел в т. М=А необходимо
и достаточно чтобы эта ф-ция удовлетворяла
в т. М=А условию Коши.
8.Повторные пределы.
Пусть
функция U=f(х,у) задана в некоторой
прямоугольной плоскости /х-х₀/<α₁
,/у-у₀/<α₂ в точке М₀( х₀, у₀), за искл.
быть может самой точки х₀. Пусть для
каждого фиксированного у удовлетвор.
условию 0</у-у₀/<d₂
сущ.
одной переменой х точки х=х₀ сущ.
.
Пусть сущ. предел функции
)
в точке у=у₀ т.е.
В этом случае говорят, что сущ. повторный
предел для функции
U=f(х,у) в точке М₀ который обозначается
.
Аналогично