11.Построение прямой параллельной плоскости.

Для того чтобы провести через точку А прямую параллельную плоскости α необходимо: 1) в плоскости α выбрать или построить произвольную прямую; 2) через точку А провести новую прямую параллельную выбранной прямой.

Для того чтобы проверить, параллельна ли прямая плоскости необходимо попытаться в заданной плоскости построить прямую параллельную заданной. Если это удастся, то прямая и плоскость параллельны.

Построение прямой, перпендикулярной плоскости

Докажем следующую теорему о перпендикуляре к плоскости: Если прямая перпендикулярна плоскости, то горизонтальная проекция этой прямой перпендикулярна горизонтальной проекции горизонтали плоскости, а фронтальная проекция – фронтальной проекции фронтали плоскости.

Пусть прямая n, перпендикулярная плоскости, пересекает плоскость BCD в точке N, тогда по условию n перпендикулярна любой прямой плоскости. Проведем в плоскостиBCD горизонталь h, а на основании теоремы о проецировании прямого угла можно утверждать, что на горизонтальную плоскость проекций они проецируются под прямым углом, т.е. n₁ ^h₁. Аналогично для фронтали – f ^ n Þ f₂ ^ n₂.

Справедлива и обратная теорема: Если проекции прямой перпендикулярны одноименным проекциям соответствующих главных линий плоскости (горизонтали и фронтали), то такая прямая перпендикулярна плоскости.

Доказательство следует из теоремы  о проецировании прямого угла.

Исходя из рассмотренных теорем, можно решить задачу о построении перпендикуляра к плоскости из точки А

Задача. Дано: плоскость ВСD и точка А.

Требуется построить прямую линию n проходящую через точку А и перпендикулярную плоскости ВСD.

В плоскости ВСD построим фронталь f и горизонталь h. В горизонтальной плоскости проекций проведем через точку А₁ прямую n₁ перпендикулярно горизонтальной проекции горизонтали h₁, а на фронтальной плоскости проекций через точку А₂ прямую n₂ перпендикулярно фронтальной проекции фронтали f₂, согласно выше сказанному полученная прямая n будет перпендикулярна плоскости ВСD.

а) модель	б) эпюр
Рисунок 5.22. Построение прямой, перпендикулярной плоскости

Для поверхностей вращения любая плоскость, перпендикулярная оси вращения, будет пересекать данную поверхность по окружности. При выполнении чертежа все построения, связанные с нахождением отдельных точек кривой, нужно тонко выполнять карандашом, а после обводки кривой тушью вспомогательные построения удаляются. Благодаря этим линиям можно понять способ получения отдельных точек.

 Решение многих задач упрощается, если прямые, плоские фигуры и другие элементы геометрических тел находятся в частном положении, которое может быть обеспечено преобразованием чертежа.  12. Преобразование чертежа.  

 Преобразование чертежа может быть выполнено способом вращения, способом проецирования на дополнительную плоскость, способом плоскопараллельного переноса и другими. Наиболее часто применяются способ вращения и способ проецирования на дополнительную плоскость.  СПОСОБ ВРАЩЕНИЯ

   Способ вращения геометрической фигуры вокруг некоторой оси состоит в том, что фигура вращается вокруг оси до требуемого положения относительно заданной неподвижной системы плоскостей проекций.     В качестве оси вращения может быть взята любая прямая. В практике же преобразования комплексного чертежа широкое распространение получило вращение вокруг проецирующих прямых и линий уровня.    Рис. 6.1.

П ри вращении некоторой точки вокруг оси она описывает окружность, расположенную в плоскости, перпендикулярной оси вращения. На рис.6.1 рассмотрено вращение точки Авокруг горизонтально проецирующей оси. Плоскость вращения D параллельна плоскости П₁ и на фронтальной проекции изображается следом D₂. Горизонтальная проекция О₁центра вращения О совпадает с проекцией M₁N₁ оси, а горизонтальная проекция О₁А₁ радиуса вращения является его натуральной величиной. Вращаясь вокруг оси, точка Аперемещается по окружности, которая на А₁ проецируется в окружность, а на П₂ - в отрезок прямой, параллельный оси х. На рис.6.1 поворот произведен на угол j против часовой стрелки так, чтобы в новом положении точки радиус вращения был параллелен плоскости П₂.    Если точку вращать вокруг оси, перпендикулярной плоскости П₂, то ее фронтальная проекция будет перемещаться по окружности, а горизонтальная - параллельно оси х.     Вращение вокруг проецирующей прямой применяют при решении задачи на определение натуральной величины отрезка прямой (рис.6.2). Ось вращения выбирают так, чтобы она проходила через одну из крайних точек отрезка, например, через точку В. Тогда при повороте точки А на угол j в положение А отрезок АВ перемещается в положение АВ, параллельное плоскости П₂. В этом случае отрезок будет проецироваться на П₂ в натуральную величину ( ½В ₂А₂ ½= ½ВА ½). Одновременно в натуральную величину будет проецироваться угол а наклона отрезка АВ к плоскости П₁.   Рис. 6.2.

  Натуральную величину плоской фигуры удобнее находить с помощью вращения вокруг прямой уровня. Путем такого вращения плоскость, которой принадлежит рассматриваемая фигура, поворачивают в положение, параллельное плоскости проекций. При таком положении плоскости любая принадлежащая ей фигура будет проецироваться в натуральную величину.     Вращая плоскость вокруг горизонтали, можно перевести ее в положение, параллельное плоскости П₁. Вращение плоскости вокруг фронтали позволяет перевестиее в положение, параллельное плоскости П₂.     На рис.6.3 рассмотрено нахождение натуральной величины треугольника АВС при помощи вращения его вокруг горизонтали.    Каждая точка плоскости треугольника АВС при вращении перемещается по окружности, перпендикулярной оси вращения. Так, точка В перемещается по окружности, плоскость D которой перпендикулярна горизонтали. Центр окружности О находится на оси вращения, а величина радиуса равна расстоянию от точки до оси вращения. Так как точка В вращается вокруг горизонтали, то окружность проецируется на П₁ в отрезок прямой, перпендикулярный горизонтали, а на П₂ - в эллипс, который можно не строить.   Рис. 6.3.

На рис.6.3 видно, что и на П₁, и на П₂ радиус вращения проецируется с искажением. Натуральную величину радиуса находим методом прямоугольного треугольника (см. свойство ортогонального проецирования). Для этого принимаем горизонтальную проекцию О₁В₁ за катет прямоугольного треугольника. Второй катет должен быть равен разности координатZ концов отрезка OB (Z_В - Z₀). Гипотенуза треугольника О₁В₁В₁' (О₁В₁') равна R. После поворота плоскость треугольника будет параллельна П₁. Следовательно, 0В спроецируется на П₁ в натуральную величину. Горизонтальную проекцию нового, после поворота, положения точки В (В₁') находим на пересечении дуги окружности, проведенной из горизонтальной проекции центра вращения О₁, радиусом, равным О₁В₁, с горизонтальной проекцией плоскости A (А₁).  Точка С также перемещается по окружности, плоскость которой Г перпендикулярна горизонтали. Точка 1 находится на горизонтали, поэтому при вращении не перемещается. Так как точки В, 1 и С находятся на одной прямой, то горизонтальную проекцию нового, после поворота, положения точки С найдем на пересечении прямой, проведенной через В₁ и 1₁, с горизонтальной проекцией плоскости Г (Г₁). 

С ПОСОБ ПРОЕЦИРОВАНИЯ НА ДОПОЛНИТЕЛЬНУЮ ПЛОСКОСТЬ   Этот способ широко применяют в практике выполнения чертежей. Сущность способа проецирования на дополнительную плоскость проекций заключается в следующем: положение точек, линий, плоских фигур, геометрических тел в пространстве не изменяется, а данная система плоскостей проекций дополняется плоскостями, расположенными к П₁или П₂, или друг к другу под прямым углом.  Каждая новая плоскость выбирается так, чтобы по отношению к заданным геометрическим элементам она заняла положение наиболее удобное для выполнения требуемого построения.   Рис. 6.4.   На рис.6.4 показано построение проекции точки А на дополнительную плоскость П₄, перпендикулярную П₁. П₁ Ç П₂ = х; П₁ Ç П₄ = х₁. Перпендикуляры, опущенные из точки А на плоскости П₁, П₂, П₄, определят проекции А₁, А₂, А₄. Из чертежа на рис.6.4а видно, что расстояние от дополнительной проекции А₄ точки до оси х₁ равно расстоянию от А₂ до осих, т.е. координате Z. Следовательно, можно сделать вывод, что расстояние от дополнительной проекции до новой оси равно той координате точки, которая отсутствует в плоскости, перпендикулярной к дополнительной.     Совместив далее П₂ и П₄ с плоскостью П₁ вращением П₂ вокруг оси х и П₄ вокруг х₁, получим комплексный чертеж точки А (рис.6.46). При наличии на чертеже двух основных проекций А₁ и А₂, дополнительную проекцию А₄ построим следующим образом. Через А₁ проведем линию связи, перпендикулярную х₁. Отложив расстояние А_X1А₄, равное координате Z точки А, получим проекцию А₄.     При введении дополнительной плоскости проекций, перпендикулярной П₂, вдоль линии связи откладываем ту координату точки, которая отсутствует в плоскости П₂, т.е. координату Y. Если П₄ ^ А₃, то вдоль линии связи откладываем координату X.     Способом проецирования на дополнительную плоскость можно определить натуральную величину отрезка прямой. Для этого дополнительную плоскость располагают параллельно отрезку.     На рис.6.5 дополнительная плоскость П₄ перпендикулярна П₃. Новая ось х₁ должна быть расположена относительно проекции прямой на плоскости, перпендикулярной к дополнительной, так же, как новая плоскость относительно прямой. В данном случае х₁ ½½ А₂В₂. Вдоль линии связи от оси х₁ откладываем ту координату точек А и В, которая отсутствует в плоскости П₂ (плоскость, перпендикулярная к дополнительной),т.е. координату Y.   Рис. 6.5.

   Таким образом, прямая общего положения в системе плоскостей проекций П₁ ^ П₂ преобразована в прямую уровня в системе П₄ ^ П₂. Отрезок АВ на П₄ спроецировался без искажения. Без искажения проецировался и угол наклона прямой к плоскости П₂.     При решении некоторых задач приходится выполнять преобразование прямой уровня в проецирующую (рис.6.6). В этом случае дополнительная плоскость должна быть перпендикулярна прямой. Так как АВ ½½ П₁, то П₄ должна быть перпендикулярна П₁. Тогда новая ось х₁ ^ А₁В₁. Вдоль линии связи откладываем координату Z.    Рис. 6.6.

  Часто бывает необходимо плоскость общего положения преобразовать в проецирующую. Для того чтобы плоскость преобразовать в проецирующую следует любую прямую, принадлежащую плоскости, преобразовать в проецирующую. Для преобразования лучше выбрать прямую уровня, так как тогда уменьшается количество преобразований. На рис.6.7 преобразование треугольника АВС в проецирующий выполнено с помощью горизонтали h, проведенной через точку А. Новая плоскость проекций П₄ в этом случае должна быть перпендикулярна горизонтали h (ось х₁ перпендикулярна h₁) и, соответственно, перпендикулярна плоскости проекций П₁.   Рис. 6.7.   Рис. 6.8.

   После преобразования плоскости общего положения в проецирующую, можно найти натуральную величину плоской фигуры, преобразовав ее в плоскость уровня. На рис.6.8 плоскость S , заданная треугольником АВС, перпендикулярна фронтальной плоскости проекций. В этом случае новая плоскость П₄, параллельная S , должна быть перпендикулярнаП₂. Ось х₁ - параллельна S₁. Проекция А₄В₄С₄ является натуральной величиной заданного треугольника.     Таким образом, последовательным введением двух дополнительных плоскостей проекций может быть определена натуральная величина плоской фигуры, принадлежащей плоскости общего положения.