§ 4. Построение третьей проекции отрезка по двум заданным

В нашем примере мы будем рассматривать построение прямой общего положения в первой четверти (табл. 3.3).

Таблица 3.3

Вербальная форма	Графическая форма
1. Прямая AB задана двумя проекциями А1В1 и А2В2. Необходимо построить третью проекцию А3В3
2. Построить третью проекцию точки А – А3:
а) на оси z и y отложить координаты точки А: Az и Aу	a)
б) построить Ау для профильной проекции	б)

в) построить перпендикуляры из Аz и Ay. Обозначить полученную профильную проекцию точки А3	в)
3. Построить третью проекцию точки В3:
а) на осях z и y отложить координаты точки В: Вz и Ву	а)
б) построить Ву для профильной проекции точки В	б)

в) построить перпендикуляры: ВzВ3  z. ВyВ3  y. Обозначить профильную проекцию точки В3	в)
4. Соединить полученные проекции А3 и В3 – это и будет проекция отрезка АВ на плоскость  3

7. Плоскости общего и частного положения.

 Плоскость можно рассматривать как результат перемещения прямолинейной образующей l, все время оставаясь параллельной прямой b, вдоль направляющей а. При этом аявляется также прямой (рис.3.5). Определитель плоскости записывается следующим образом: F(l,а)[l½½b]. 

 Рис. 3.5.

Задание плоскости на чертеже  Множество элементов плоскости изобразить на чертеже нельзя. Поэтому плоскость принято изображать геометрическими элементами, лежащими в плоскости.  Задание плоскости тремя точками. Три точки, не лежащие на одной прямой, задают плоскость (рис.3.6а). Любая четвертая, пятая и т.д. точки, взятые произвольно на чертеже, как правило, не принадлежат заданной плоскости. Определитель: S(A, B, C). 

 Рис. 3.6-a   Рис. 3.6-б

   Задание плоскости прямой и точкой вне этой прямой. Если две точки плоскости соединить прямой, то получим задание плоскости прямой и точкой (рис.3.6-б). Всякий дополнительный элемент (точка, прямая), взятый произвольно, как правило, не будет принадлежать этой плоскости. Определитель: S(A, b)[AËb]. 

   Задание плоскости двумя пересекающимися прямыми. Две пересекающиеся прямые определяют плоскость (рис.3.6-в). Определитель: S(A, b)[AËb]. 

   В ряде случаев плоскость удобно задавать двумя пересекающимися прямыми уровня: горизонталью и фронталью (рис.3.6-г).

 Рис. 3.6-в   Рис. 3.6-г

   Задание плоскости двумя параллельными прямыми. Так как параллельные прямые можно рассматривать как пересекающиеся в несобственной точке, то они также будут определять плоскость (рис.3.6-д). Определитель: S(a½½b).     Задание плоскости плоской фигурой (отсек плоскости). Любая плоская фигура, например треугольник, задает плоскость (рис.3.6-е). Плоская фигура придает большую наглядность изображаемой плоскости. Определитель: S(ABC).

 Рис. 3.6-д   Рис. 3.6-е

   Необходимо отметить, что при всех случаях задания плоскость считается бесконечной.  Положение плоскости относительно плоскостей проекций 

Плоскость относительно плоскостей проекций может занимать следующие положения:        1 - не перпендикулярно к плоскостям проекций;       2 - перпендикулярно к одной плоскости проекций;       3 - перпендикулярно к двум плоскостям проекций.

Плоскость, не перпендикулярную данным плоскостям проекций, называют плоскостью общего положения (рис.3.6). 

  Во втором и третьем случаях плоскости называют плоскостями частного положения.      Плоскость, перпендикулярная одной плоскости проекций. Такие плоскости получили название проецирующих плоскостей. Горизонтально проецирующей плоскостью называют плоскость, перпендикулярную к плоскости проекций П₁(рис.3.7).   Рис. 3.7-а   Рис. 3.7-б

Любой элемент, лежащий в этой плоскости, проецируется на плоскость П₁ в прямую Г₁, называемую горизонтальным следом плоскости. Угол наклона b горизонтально проецирующей плоскости к плоскости проекций П₂ на комплексном чертеже определяется как угол b₁, заключенный между горизонтальным следом Г₁ данной плоскости и прямой, перпендикулярной линиям связи (рис.3.7-б).   Рис. 3.8-а   Рис. 3.8-б

Фронтально проецирующей плоскостью (рис.3.8) называют плоскость, перпендикулярную к плоскости проекций П₂. Любой элемент этой плоскости проецируется на фронтальную плоскость проекций в прямую Ф₂ - фронтальный след плоскости. Угол наклона a фронтально проецирующей плоскости к плоскости П₁ на комплексном чертеже определяется как угол a₂, заключенный между фронтальным следом Ф₂ и прямой, перпендикулярной линиям связи.    Профильно проецирующей плоскостью называют плоскость, перпендикулярную к профильной плоскости проекций (рис.3.9). Любой элемент, лежащий в этой плоскости, проецируется на профильную плоскость проекций в прямую S₃ - профильный след плоскости. На профильной проекции углы a и b наклона профильно проецирующей плоскости к плоскостям П₂ и П₂ изображаются без искажения.   Рис. 3.9.

 Свойство проекций геометрических элементов, лежащих в проецирующих плоскостях (см. 2.1).  Проецирующая плоскость изображается прямой линией на той плоскости проекций, к которой она перпендикулярна. Следовательно, и любая геометрическая фигура, лежащая в проецирующей плоскости, проецируется на эту плоскость в отрезок прямой.   Рис. 3.10.

  Проецирующие плоскости могут быть заданы не только геометрическими элементами, лежащими в данной плоскости, но и одной линией - следом плоскости (рис.3.10). Например, горизонтально проецирующая плоскость Г может быть задана своим горизонтальным следом Г₁. Аналогично, фронтально проецирующая плоскость может быть задана своим фронтальным следом Ф₁. 

    Плоскость, перпендикулярная двум плоскостям проекций.  Плоскости, перпендикулярные двум плоскостям проекций, параллельны третьей плоскости и называются плоскостями уровня или дважды проецирующими плоскостями.      Различают три плоскости уровня: горизонтальную плоскость уровня (рис.3.11-а) - параллельную П₁; фронтальную плоскость уровня (рис. 3.11-6) - параллельную П₃; профильную плоскость уровня (рис.3.11-в) - параллельную П₃.      Любая линия (прямая или кривая), принадлежащая плоскости уровня,будет являться линией уровня. Любая фигура, лежащая в плоскости уровня, проецируется без искажения на плоскость проекций, ей параллельную.   Рис. 3.11-а,б   Рис. 3.11-в

8.Прямая и точка в плоскости      Прямая принадлежит плоскости, если она проходит через две точки, принадлежащие плоскости,или проходит через одну точку, принадлежащую плоскости,параллельно какой-либо прямой этой плоскости. На рис. 3.12-а плоскость Г задана треугольником. Прямая 1 принадлежит плоскости Г, так как 1 принадлежит прямой 12, а 12 принадлежит плоскостиГ. Прямая m проходит через точку 3 параллельно прямой АВ, которые принадлежат плоскости Г. Следовательно, m принадлежит плоскости Г.   Рис. 3.12.

    Точка принадлежит плоскости,если она расположена на прямой, принадлежащей плоскости. На рис.3.12-б показано построение фронтальной проекции точки А, принадлежащей плоскости S(m½½n), по заданной горизонтальной проекции. Точка А принадлежит плоскости S, так как А принадлежит прямой 12, а 12 принадлежит S.  9.Главные линии плоскости  Главные линии плоскости - это особые прямые, принадлежащие плоскости, позволяющие более точно выявить ориентацию плоскости относи- тельно плоскостей проекций и упростить решение многих задач.      Главными линиями плоскости являются прямые уровня: горизонталь h, фронталь f и профильная р, а также линии наибольшего наклона, при помощи которых можно определить угол наклона плоскости к плоскостям проекций П₁, П₂, П₃.   Рис. 3.13.

   Линиями наибольшего наклона называют прямые данной плоскости перпендикулярные к прямым уровня этой плоскости. Прямая а наибольшего наклона плоскости Г (рис.3.1З-а) к плоскости проекций П₁ образует со своей проекцией а₁ на эту плоскость линейный угол двугранного угла плоскостей Г и П₁. При этом плоскость S(aÇa₁) перпендикулярна прямойh пересечения этих плоскостей и, следовательно, a^h и a₁^h₁. Так как h¹^h и h₁¹^h₁, то a^h¹ и a₁^h₁¹. Поэтому линия наибольшего наклона данной плоскости к плоскости П₁перпендикулярна к любой горизонтали этой плоскости, и ее горизонтальная проекция перпендикулярна горизонтальной проекции любой горизонтали плоскости. Линию наибольшего наклона к П₁ часто называют линией ската.      Проведя аналогичные рассуждения относительно данной плоскости и П₂, можно заключить, что линия наибольшего наклона плоскости к П₂ перпендикулярна к любой фронтали данной плоскости.      На рис.3.13-6 проведены: через точку С - горизонталь; через А - фронталь; через В - линия наибольшего наклона к П₁ (^h) и линия наибольшего наклона к П₂ (^f).  10. Параллельность плоскостей, параллельность прямой и плоскости      Плоскости параллельны, если две пересекающиеся прямые одной плоскости параллельны двум пересекающимся прямым другой плоскости. На рис.3. На изображены две плоскости: S (n½½l) и Г(АВС). Эти плоскости параллельны, так как n½½AC (n₁½½A₁C₁; n₂½½A₂C₂); 12 (принадлежащая плоскости S)½½AB (1₁2₁½½A₁B₁; (1₂2₂½½A₂B₂).   Рис. 3.14.

   Прямая параллельна плоскости, если она параллельна какой-либо прямой, принадлежащей плоскости. Через данную точку можно провести множество прямых, параллельных плоскости. На рис.3.14-6 одна из таких прямых b параллельна плоскости Г (m½½n), так как она параллельна прямой 1, принадлежащей плоскости Г (b₁½½l₁ и b₁½½l₁).