Теория вероятностей Задание 9. Непосредственный подсчет вероятностей. Теоремы сложения и умножения вероятностей
При решении задач по теории вероятностей часто используют формулы комбинаторики. Поэтому остановимся прежде на некоторых понятиях и формулах комбинаторики.
Теория соединений (комбинаторика) рассматривает различные наборы (различные множества) элементов, выбранных из некоторого исходного набора этих элементов. Наборы составляются по определенным правилам и называются соединениями.
Правило произведения: если объект А можно выбрать из совокупности объектов m способами и после каждого такого выбора объект В можно выбрать п способами, то пара объектов (АВ) в указанном порядке может быть выбрана mх n способами.
Правило произведения распространяется на случай трех и более объектов.
Пример. Сколько четырехзначных чисел можно составить из цифр 0; 1; 2; 3; 4; 5?
Решение. Первую
значащую цифру четырехзначного числа
можно выбрать 5 способами, вторую, третью
и четвертую – 6 способами, следовательно,
количество таких чисел по правилу
произведения
.
Правило суммы: если некоторый объект А можно выбрать из совокупности объектов m способами, а другой объект В может быть выбран п способами, то выбрать либо А либо В можно m+n способами.
Пример.
Пусть а – число, делящееся на 2; b
– число, делящееся на 3. Сколькими
способами можно выбрать или а или
b из множества чисел
.
Решение. Число
а можно выбрать двумя способами (2;
4), а число
одним способом (3), тогда по правилу суммы
.
Пусть дано множество, состоящее из п различных объектов. Из него можно выбрать т объектов двумя способами: без возвращения и с возвращением выбранного объекта в исходное множество. Рассмотрим схему выбора без возвращения.
Размещениями называют комбинации, составленные из п различных элементов по m элементов, которые отличаются либо составом элементов, либо их порядком.
Обозначение -
.
Число всех возможных размещений находится
по формуле:
|
(28) |
Заметим, что:
n
(n-1)
(n-2)
...
2
1
n!;
1!=1; 0!=1.
Пример. Сколькими способами можно составить трехцветный полосатый флаг, если имеются ткани 5 различных цветов?
Решение.
.
Перестановками называют комбинации, состоящие из одних и тех же п различных элементов и отличающиеся только порядком их расположения. Число всех возможных перестановок определяется по формуле:
|
(29) |
Пример. Сколькими способами 6 человек могут сесть на 6 стульев?
Решение.
.
Сочетаниями называют комбинации, составленные из п различных элементов по m , которые отличаются хотя бы одним элементом. Число сочетаний вычисляют по формуле:
|
(30) |
Заметим:
- правило симметрии;
.
Число перестановок и сочетаний связано равенством:
|
(31) |
Пример. Алексей
хочет пригласить в гости троих из своих
7 друзей. Сколькими способами это можно
сделать?
.
Формула классической вероятности имеет вид:
|
(32) |
,
где
- число всевозможных исходов,
- число благоприятных исходов.
Примеры.
Воспользуемся формулой (32) для решения следующих задач:
Задача 1. В ящике 5 белых и 4 черных шара. Наудачу вынимают три. Какова вероятность, что среди них два белых и один черный шар?
Число всех возможных исходов - это число сочетаний из 9 по 3. Поэтому
Число вариантов выбора 2 белых из 4 белых - это число сочетаний из 4 по 2, то есть
,
и так как каждая пара может выпасть с любым из 4 черных шаров, то число благоприятных исходов равно произведению m = 6x4 = 24.
Тогда вероятность события “из ящика взяли 2 белых и 1 черный шар”
.
Задача 2. На 10 карточках написаны цифры 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 и 0. Наудачу выбирают три карточки и раскладывают их в порядке появления. Какова вероятность, что получится число 120?
Поскольку в этом примере важен порядок цифр, то число всех возможных исходов
Благоприятный исход только один, поэтому искомая вероятность
.