18. Тангенс и котангенс

Определение. Отношение синуса числа t к косинусу этого же числа называют тангенсом числа t и обозначают tgt. Отношение косинуса числа t к синусу того же числа называют котангенсом числа t и обозначают ctgt:

Говоря о tgt, подразумевают, что cost ≠ 0, т.е. что  , а говоря о ctgt, подразумевают, что sint ≠ 0, т.е. что  . Поэтому определения tgt и ctgt запишем так:

Опираясь на таблицу знаков синуса и косинуса по четвертям числовой окружности, представим аналогичную таблицу для тангенса и котангенса:

Четверть окружности	1-я	2-я	3-я	4-я
tg t,ctg t	+	-	+	-

19. Радиан (от лат. radius — луч, радиус) — основная единица измерения плоских углов в математике.  Один радиан равен центральному углу окружности, длина дуги которого равна радиусу этой окружности:

Таким образом, величина полного угла равна 2π  (два Пи) радиан, так как длина окружности - это 2π  (два Пи) радиусов.

Радиан - это безразмерная величина, поскольку отражает соотношение длины дуги окружности к длине радиуса. 

Радианной мере угла можно поставить в соответствие меру угла в градусах. Эту зависимость можно выразить следующими формулами:

В основе определения радиана - всё равно окружность. Угол в 1 радиан, это угол, который вырезает из окружности дугу, длина которой (L) равна длине радиуса (R).

А теперь я нарежу этот полукруг радианами! Наводим курсор на картинку и видим, что в 180° укладывается 3 с хвостиком радиана. Этот хвостик - 0,1415926.... Здравствуй, число "Пи",

Или точное равенство:

Если в 3,14 радианах 180° градусов, то в 1 радиане в 3,14 раз меньше! То есть, мы делим первое уравнение (формула - это тоже уравнение!) на 3,14:

В одном радиане примерно 60°.

Например, нам нужно выяснить, сколько градусов в угле "Пи"/2 радиан? Вот и пишем:

Или, более экзотическое выражение:

Тригонометрические функции углового аргумента

Возьмем угол с градусной мерой α° и расположим его в модели «числовая окружность в прямоугольной системе координат» так как показано на рисунке: вершину угла совместим с уентром окружности (с началом системы координат), а одну сторону угла совместим с положительным лучем оси абсцисс. Точку пересечения второй стороны угла с окружнотью обозначим буквой M. Ординату точки M естественно считаем синусом угла α°, а абсциссу этой точки — косинусом угла α°.

Для отыскания синуса или косинуса угла α° совсем необязательно каждый раз проводить подобные построения. Достаточно заметить, что дуга AM составляет такую же часть длины единичной окружности, какую угол α° составляет от угла 360°. Если длину дуги AM составляет такую же часть длины единичной окружности, как угол α° составляет от угла 360°. Если длину дуги AM обозначить буквой t, то получим  , откуда находим:

Таким образом,

Например,

Говорят, что 30° — это градусная мера угла, а   — радианная мера того же угла. Вообще,

В частности,  . Отсюда  .

Так что же такое 1 радиан? Мы рассматриваем центральные углы единичной окружности. Угол в 1° — это центральный угол, опирающийся на дугу, составляющую   часть окружности. Угол в 1 радиан — это центральный угол, опирающийся на дугу длиной 1, т.е. на дугу, длина которой равна радиусу окружности. Из формулы   получаем, что 1 рад ≈ 57,3°.