Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
математика 3.doc
Скачиваний:
9
Добавлен:
07.09.2019
Размер:
191.49 Кб
Скачать

Первообразная и определенный интеграл

Инт – проц нах ф-ции по её произв. Ф-ция, найд в рез-те инт – первообр по отн к задан произв. Если f(x) – зад пр-я, а F(x) – её первообр, то f(x)=F’(x). Очев, что если F(x) явл перв по отн к f(x), то всяк ф-ция вида F(x)+C (C=const) тоже будет первообр. Покажем, что справ и обр утв: люб 2 первообр мог отл только на конст. Пусть f(x) имеет 2 первообр: F(x) и F1(x), тогда (F1(x)-F(x))’=f(x)-f(x)=0 при всех рассм x. Если f’(x)=0, то в силу ф-лы Лагранжа ф-ция пост (F1(x)-f(x)=C). φ(x2)-φ(x1)=φ’(C)(x2-x1)=0, φ’(C)=0. Значит для любых двух знач для наш ф-ции φ(х1)=φ(х2). Выв: если f(x) имеет хотя бы 1 первообр, то она имеет целое сем-во первообр, отл др от др только на конст. Это сем первообр наз «неопр инт от f(x)». Неопр инт принято обозн SS(f(x)dx) (иногда SS(f(x)), но тогда SS(x^2+y^2)^0.5-неясно). Если ф-ция f(x) непрер, то её неопр инт сущ – дост усл. Если F(x) перв к f(x), то можно напис: SS(f(x)dx)=F(x)+C, где С=const. Нетрудно пров, что справ след рав-во: SS(λ1f1(x)+λ2f2(x))dx=λ1SS(f1(x)dx)+λ2SS(f2(x)dx) – (это не рав-во двух ф-ций, это сем-во первообр)

Таблица простых интегралов:

  1. SS(v^mdv)=(v^(m+1))/(m+1)+C (m<>1)

1a) SS(dv/v^2)=-1/v+C

1б) SS(dv/v^0.5)=2v^0.5+C

  1. SS(dv/v)=ln|v|+C

  2. SS(a^vdv)=(a^v)/ln(a)+C (a<>1)

3a) SS(e^vdv)=e^v+C

  1. SS(cos(v)dv)=sinv+C

  2. SS(sin(v)dv)=-cosv+C

  3. SS(dv/(cosv)^2)=tgv+C

  4. SS(dv/(sinx)^2)=-ctgv+C

  5. SS(dv/(a^2-v^2)^0.5)=arcsin(v/a)+C=-arccos(v/a)+C

  6. SS(dv/(v^2+α))=ln(v+(v^2+α)^0.5)+C

  7. SS(dv/(a^2+v^2))=1/a*arctg(v/a)+C=-1/a*arcctg(v/a)+C

  8. SS(dv/(v^2-a^2))=1/(2a)*ln|(v-a)/(v+a)|+C. v- диффер-емая ф-ция от х.

СПОСОБЫ ИНТЕГРИРОВАНИЯ

  1. Инт-е разл-ем на слаг:

Подынт выр-е раскл на слаг, а затем инт-ся кажд слаг в отд.

  1. Инт-е по частям. Если u(x) и v(x) – дифф-емые ф-ции, то d(u(x)*v(x))=u*dv+v*du. SS(d(u(x)*v(x)))=SS(u*dv)+SS(v*du). uv=SS(u*dv)+SS(v*du). SS(u*dv)=uv-SS(v*du).

  2. Замена арг неопред инт. Т: Если SS(f(x)dx)=F(x)+C, то SS(f(φ(t))*φ’(t)dt)=F(φ(t))+C. Док-во: Если F’(x)=f(x), то (F(φ(t))’= f(φ(t)*φ’(t). Эта Т дает возм вместо 1 инт нах второй, а затем в получ выр-ии вместо φ(t) писать x и наоб.

!!!Не всяк элем ф-ция имеет элем первообр-ю. Не всегда инт от элем ф-ции выр-ся через элем ф-цию.

ИНТЕГРИРОВАНИЕ ПРОИЗВЕДЕНИЙ СИНУСОВ И КОСИНУСОВ

Рассм SS((sinx)^m*(cosx)^n)dx, m и n э Z, m и n >0. Инт такого вида всегда выр-ся чз элем ф-ции. 1) Пусть m=2k+1, тогда: SS((sinx)^(2k+1)*(cosx)^(n)*dx=SS((sinx)^(2k)*(cosx)^(n)*sinx*dx=-SS(1-cosx^2)^k*(cosx)^n*d(cosx). Положим cosx=t =>инт от многочл и т.д. 2) Предп, что m=2k, n=2l. SS((sinx)^2k*(cosx)^2l*dx)=SS(((1-cos2x)/2)^k*((1+cos2x)/2)^l*dx)= разобъем на слаг. Там где степ нечер – элем, где чет – опять и т.д.

ИНТЕГРИРОВАНИЕ РАЦИОНАЛЬНЫХ ДРОБЕЙ

Будем рассм инт такого вида: SS(Qm(x)/Pn(x))dx. Если эта др неправ, то её можно разл на 2 части: многочлен и правильн дробь. Инт от люб многочл выр-ся через элем ф-ции (многочл в степ на 1 больше). Выясн как инт прав рац др, для этого вспом, что всяк прав рац дробь можно разл на прост дроби вида: A/(x-a)^k или (B(x+α)+C)/((x+α)^2+β^2)^k. Покаж, что SS от люб из так дробей выр-ся чз элем ф-ции. Рассм все случ: 1) SS(Adx/(x-a))=Aln|x-a|+C 2) k>1 SS(Adx/(x-a)^k)=A(x-a)^(-k+1)/(1-k)+C 3) k=1 SS((B(x+ α)+C)dx/((x+α)^2+β^2)=…=(B/2)ln((x+α)^2+β^2)+(C/β)arctg((x+α)/β)+C1 4) k>1 SS(B(x+α)+C)dx/((x+α)^2+β^2)^k=…(зам x+α=βtgt, dx=βdt/cost^2)=>получен инт выр-ся чз Эл ф-ции=> весь исх инт выр-ся чз Эл ф-ции=> Иит от люб прав дроби берется.

ИНТЕГРИРОВАНИЕ Ф-ЦИЙ, РАЦИОНАЛЬНО ЗАВИСЯЩЕЙ ОТ e^x.

Будем SS(R(e^x))dx, где R(e^x) – рац дробь, её арг – e^x. Положим e^x=t => x=lnt => dx=dt/t, но тогда SS(R(t)dt/t) и инт берется.

ИНТЕГРИРОВАНИЕ Ф-ЦИЙ, РАЦИОНАЛЬНО ЗАВИСЯЩИХ ОТ SIN И COS.

Пусть R(sinx,cosx) – рац дробь с арг sinx и cosx, тогда SS(R(sinx,cosx))dx выр-ся через Эл ф-ции, т.е. берется. T=tg(x/2), тогда sinx=(2tg(x/2))/(1+(tg(x/2))^2)=2t/(1+t^2), cosx=(1-t^2)/(1+t^2), x=2arctgt, dx=2dt/(1+t^2) => под инт стоит рац дробь => она выр чз Эл ф-ции => исх инт тоже выр чз Эл ф-ции.

ИНТЕГРИРОВАНИЕ Ф-ЦИЙ, ВИДА R(ax+b)^(1/m) (типа корень степени m).

SS(R(ax+b)^(1/m))dx всегда выр чз элем ф-ции. Полож t=(ax+b)^(1/m), тогда dx=(m*t^(m-1)dt)/a. Все получится, как и выше, по тем же причинам.

ИНТЕГРАЛ ОТ R(x,(ax^2+bx+c)^0.5) – ф-ция, котор явл рац дробью от x и (…)^0.5.

SS R(x,(ax^2+bx+c)^0.5)dx всегда выр-ся чз элем ф-ции, если вход в него корень сущ. |а| можно за корень, тогда (+-x^2-b1x+c1)^0.5. если в получ корне выдел полн квадр, то кор примет вид: (+-(x+α)^2+-β^2)^0.5. а) (-(x+α)^2-β^2)^0.5 – кор не сущ, не рассм б) ((x+α)^2+β^2)^0.5 =* x+α=βtgt *=(β^2(tgt^2-1))^0.5=β/cost. Dx=βdt/(cost)^2 => исх инт превр в инт от ф-ции рац завис от sint и cost, а такой выр-ся чз элем. Заметим, что можно было x+α=βsht. В этом случае ((x+α)^2+β^2)^0.5=βcht, dt=βcht. в) (-(x+α)^2+β^2)^0.5 = βcost. x+α=βsint г) ((x+α)^2-β^2)^0.5=βctgt, т.к. x+α=β/sint. Dx=(-β/(sint)^2)costdt.

Понятие определенного интеграла.

Пусть на [a,b] задана f. Разоб этот пром на n част какими-н (.)(.): a=x0<x1<x2<xn=b (изобрази). Затем найд длины этих частей: ∆x1=x1-x0, ∆x2=x2-x1,…, ∆xn=xn-x(n-1). В кажд из пром возьм по (.). Обозначим их ζ1,ζ2,…,ζn. Затем сост такие пр-я: знач ф-ции умн на длину: f(ζ1)*∆x1, f(ζ2)*∆x2,…,f(ζn)*∆xn. Z<k=1><n>(f(ζn)*∆xk) – такая сумм наз «инт сумм», или «сумм Римана». Наиб из длин ∆xk мы будем наз «рангом дробл пром». Обозн чз λ, тогда очев, что при λ->0 число пром будет неогр расти, а их длины -> 0. Предел инт суммы при ранге дробл –> 0 наз «инт от ф-ции по пром [a,b или «опр инт от f по [a,b]». Обозн SS<a><b>=SS<a><b>(f(x)dx); SS<a><b>(f)= Z<k=1><n>(f(ζn)*∆xk). Для выр-я такого рода, как инт Z понятие пред надо ввод так: число J наз пред инт сумм Z<k=1><n>(f(ζk)*∆xk) при λ->0, если для люб ε>0 сущ такое δ>0, что для всех инт сумм, у котор λ<δ будет вып нер-во: |Z<i=1><n>(f(ζk)*∆xn-J)|<ε. Опр инт – это число, а неопр инт – сем-во ф-ций. Добавление: 1) SS<b><a>(f)=-SS<a><b>(f), 2) SS<a><b>(f)=0. Есть верх пред, есть нижн пред и есть переменн инт-я (dx). Знач опред инт завис от пром [a,b], от хар-ра f и не завис от назв переем интегр. Типа такая фиговина: SS<a><b>(f(x)dx)=SS<a><b>(f(t)dt). Не всяк пред сущ=> не у всяк ф-ции сущ опред инт. Ф-ция наз кусочно-непрер на [a,b], если этот пром можно разб на конечное число пром, в кажд из котор ф-ция непр. При этом, ф-ция может иметь разрывы только 1-го рода (устр). Т1: Если ф-ция f кусочно-непр на замк [a,b], то инт SS<a><b>(f) сущ. Т2: Если ф-ция f монотонна на [a,b], то SS<a><b>(f) сущ. Св-ва опр инт: 1) SS<a><b>(C1f1+C2f2)=C1SS<a><b>(f1)+C2SS<a><b>(f2) если стоящ справа инт сущ-ют. («Св-во линейности»). Док-во: возьм ф-цию C1f1(x)+C2f2(x) и сост для нее сумм Римана. Она им вид: Z<k=1><n>( C1f1(ζn)+C2f2(ζn))∆xk. Эту Сум можно преобр: С1 Z<k=1><n> (f1(ζn)∆xk) + С2Z<k=1><n> (f2(ζn)∆xk). При λ-> 0, перех к пределу, мы получ: SS<a><b>(C1f1+C2f2)= C1SS<a><b>(f1)+C2SS<a><b>(f2). Пред прав части сущ => сущ пред левой. 2) SS<a><b>(f)=SS<a><c>(f)+SS<c><b>(f) (a<=c<=b). Поск SS сущ, постольку пред суммы Римана не завис от спос дробл пром [a,b], поэт мы будем рассм такие дробл-я пром, в котор (.)С явл одной из (.)(.) деления, поэт всяк сумму Римана можем разб на 2 части: Z<k=1><n>( f(ζk)*∆xk)=Z<k=1><m>( f(ζk)*∆xk)+ Z<k=1+m><n>( f(ζk)*∆xk). В этом

рав-ве перейд к пред при λ-> 0, получим : SS<a><b>=SS<a><c>+SS<c><b> - («аддитивность»). Оно ост справ и в том случ, если c не Э [a,b], но если SS сущ. 3) Если f>=0, а a<=b, то SS<a><b>>=0. док-во: постр сумму Римана. Из усл очев, что Z<k=1><n>(f(ζk)∆xk)>=0, тогда lim Z<k=1><n>(f(ζk)∆xk)>=0, а это знач, что SS<a><b>>=0. 4) Если f1<=f2 и a<=b, то SS<a><b>(f1)<=SS<a><b>(f2). Док-во: очевидно, что f2-f1>=0. В соотв с предыд св-вом SS<a><b>(f2-f1)>=0 => SS<a><b>(f1)<=SS<a><b>(f2). Чем больше ф-ция, больше SS (сумма её знач). 5) Если m<=f(x)<=M и a<=b, то m(b-a)<=SS<a><b>(f)<=M(b-a). док-во: Напиш инт сумму Z<k=1><n>( f(ζk)*∆xk) <= Z<k=1><n>( M*∆xk) = M*Z<k=1><n>(∆xk)=M(b-a). Люб инт сумм удовл нер-ву: Z<k=1><n>( f(ζk)*∆xk) <= M(b-a). Перед к пред при λ->0 SS<a><b>(f) <= M(b-a). 2-я часть нер-ва доказ так-же. 6) Теорема о среднем. Если ф-ция f непр на [a,b], то внутри пром найд такая (.)С, в которой будет вып рав-во SS<a><b>f=(f(C)(b-a)). Док-во: т.к. f непр на [a,b], то в силу т.Вейерштрасса, она приним на этом пром свое наим и наиб знач. Пусть m* - наим, М* - наиб зн ф-ции, т.к. m*<=f(x)<=M*, то, в соотв с 5! можем напис: m*(b-a)<=f(x)<=M*(b-a) или m*<=(1/(b-a))SS<a><b>(f)<=M*. По т.Коши, перех от 1-го своего знач к др, непр ф-ция прин все промеж знач, это знач, что на [a,b] найд такая (.)С, в которой будет вып рав-во f(c) = (1/(b-a) найд такая (.)С от 1-го своего знач к др, непр ф-ция прин все промеж знач, это знач, что на 00000000000000000000000000000000000)SS<a><b>(f), отсюда получ треб. Замечание: 1/(b-a) найд такая (.)С от 1-го своего знач к др, непр ф-ция прин все промеж знач, это знач, что на 00000000000000000000000000000000000)SS<a><b>(f) – ср знач ф-ции на [a,b].

Формула ньютона-лейбница.

Пусть f непрер на [a,b], тогда для люб х из этого пром будет сущ инт SS<a><x>(f), очев, что этот SS явл ф-цией от верхнего предела. Для определ-сти: Ф(х)=SS<a><x>(f).

Теор Барроу: если f(x) непрер, то при всех х из [a,b] сущ произв Ф’(x). Причем Ф’(x)=f(x) или E (SS<a><x>(f))’=f(x). Док-во: возьмем x, x+∆x, тогда Ф(x+∆x)-Ф(х)= SS<a><x+∆x>(f) - SS<a><x>(f) = SS<a><x>(f)+SS<x><x+∆x>-SS<a><x>(f)= SS<x><x+∆x>(f). В силу т. О среднем SS<x><x+∆x> = f(C)∆x, где C Э (x, x+∆x). Отсюда: (Ф(x+∆x)-Ф(x))/∆x = f(c). Если ∆x-> 0, то C->x => f(C) -> f(x) (из-за непрер-сти). Переходя к пределу при ∆x -> 0 мы получим: Ф’(x)=f(x), причем пред сущ, т.к. есть пред и у п.ч. т.д. Барроу – уч. Ньютона. Перейд к выв ф-лы Ньют-Лейбн. Если f непрер на [a,b], то по т. Барроу (SS<a><x>(f))’=f(x), это означ, что SS<a><x>(f) явл первообр по отн к f(x). Если есть 1 перв => их беск много. Предп, что F(x) – какая-н первообр от f(x), тогда SS<a><x>(f)=F(x)+C. Подст x=a в это рав-во: 0=F(x)+C, C=-F(a). SS<a><x>(f)=F(x)-F(a). Опред инт = приращению первообр. Это рав-во запис так: SS<a><b>(f) = F(b)-F(a) = F(x)|<a><b>.

ИНТЕГРИРОВАНИЕ ПО ЧАСТЯМ В ОПРЕДЕЛЕННОМ ИНТЕГРАЛЕ.

U(x), v(x) имеют на [a,b] непрерывные произв-е. d(uv)=udv+vdu. SS<a><b>(d(uv)) = SS<a><b>(vdu)+SS<a><b>(udv). Uv |<a><b> = SS<a><b>(vdu)+SS<a><b>(udv). SS<a><b>(udv) = uv|<a><b>-SS<a><b>(vdu).

ЗАМЕНА АРГУМЕНТА В ОПРЕДЕЛЕННОМ ИНТЕГРАЛЕ.

Пусть на [α,β] зад x=φ(t), котор отобр этот пром в пром [a,b], при этом φ(α) = a, φ(β)=b. Будем счит, что φ имеет непр произв, тогда SS<a><b>(f(x)dx)=SS<α><β>(f(φ(t))*φ’(t)dt). Если f(x) имеет первообр F(x), то f(φ(t))φ’(t) имеет первообр F(φ(t)). В таком случае SS<a><b>(f(x)dx) = F(b)-F(a). SS<a><b>(f(φ(t))*φ’(t))dt = F(φ(β))-F(φ(α)) = F(b) – F(a). Применение интеграла: 1) Нах площ в дек корд. Пусть на [a,b] задана неотриц непрер ф-ция y=f(x). Постр гр-к этой ф-ции и найд S фигуры, огр этим гр-ком и ОХ и двумя перп (x=a, x=b). Для реш зад разоб [a,b] на n частей (.)(.)амии. (нарисуй вышеизложенное). a=x0<x1<x2<…<xn=b. Через все (.)(.) делен пров отр прям || oy до Перес с граф. Тогда кривол трап разоб на полоски. Возьм в 1-й полоске (.)ζ1, и замен эту полоску прямоуг с ост Δх1 и высотой f(ζ1). Sпрям=f(ζ1)* Δх1, так же со всеми ост полосками, сложим. Z<k=1><n>(f(ζk)*Δxk). Введем ранг дробл λ – длина пром. Sкр.тр. наз пред постр суммы при λ-> 0. S=lim<λ->0>Z<k=1><n>(f(ζk)*Δxk). С др стор – предел Z – опред инт от f на [a,b]. Sкр.тр. = SS<a><b>(f) = SS<a><b>(ydx). Если на [a,b] f1(x) не превосх f2(x), то Sфиг. = SS<a><b>(f2(x)-f1(x))dx. Пр1. найд площ пар сегм с осн а и выс h. y=αx^2+βx+γ. β=0. y= αx^2+γ. X=0 y=h=γ. При y=0 αa^2/4+h=0, α=-4h/(a^2). Y=-4h*x^2/(a^2)+h=h(1-4x^2/(a^2)). Sпар = SS<-a/2><a/2>(h(1-4x^2/(a^2)))dx = 2h(a/2-4x^3/(3a^2))|<0><a/2> = 2ah/3. Пр2: Найд S фиг огр элл. x^2/a^2+y^2/b^2=1 => y=((1-x^2/a^2)b^2)^0.5 = (b/a)(a^2-x^2)^0.5. Sэл = 4*SS<0><a>(ydx)=(4b/a)SS<0><a>(a^2-x^2)^0.5dx. x=asint, dx=acostdt. S=(4b/a)SS<0><π/2>((a^2-a^2(sint)^2)^0.5*acostdt) = 4abSS<0><π/2>(cost^2)dt=πab. Пр3: S фиг огр 1 арк циклоиды. X=a(t-sint), y=a(1-cost), t Э [0, 2pi]. S=SS<0><2pi*a>(ydx)=3pi*a^2.

Общая схема применения определенного интеграла.

Пусть им некот пром [a,b]. Если на этом пром и его частичн пром задана ф-ция Ф, завис от промежутков, то мы эту ф-цию будем обозн Ф([α,β]) и называть «функционал». Функционалом Ф наз «аддитивным», если для него вып усл: Ф([α,β])=Ф([α,γ])+Ф([γ,β]). Будем гов, что ф-л имеет плотн φ, если Ф([α,α+Δα]) = φ(α)Δα+0(Δα) при Δα -> 0.Заметим, что если ф-л имеет плотн, то Ф([α, α]) =0. Т: Общ схема прим интегр. Пусть на [a,b] задан ф-л Ф, если этот ф-л аддитивен и имеет непр плотн φ, то справ рав-во: Ф([α,β])= SS<a><b>(φ(x)dx). Возьмем произвольн х из [a,b] и рассм такую вел Ф([a,x]). Эта велич явл ф-цией от х. Рассм велич Ф([a, x+Δx])- Ф([a,x]) = * разность Ф - это Δx* = φ(x)+0(Δx)/Δx. Δx -> 0 => 0(Δx)/ Δx=0. Ф’([a,x]) = φ(х). Это знач, что Ф([a,x]) явл первообр по отн к φ(x). С др стор SS<a><x>(φ) тоже явл первообр для Ф([a,x]) (по т. Барроу), значит Ф([a,x])=SS<a><x>(φ)+ C. Найдем С. Положим х=а, получим: 0=0+C => C=0. Значит верно Ф([a,x]) = SS<a><x>(φ). В частн при х=b: Ф([a,b]) = SS<a><b>(φ). Непрер-сть плотности обесп сущ интеграла. Смысл: если хотим велич описать инт-ом, надо убед, что вел аддитивна и имеет плотн, напис dФ = φ(x)dx и взять инт от обеих частей.

Применение интеграла.

1) Нахожд длин линий. 1) пусть на [a,b] задана y=f(x). Постр гр-к этой ф-ции. (оси, загогулина с провалом посередине, точки а, b, х, х+∆х). Найдем длину постр линии (считая, что сущ непрер пр-я f’(x)). Для этого заметим: длина люб части линии завис от пром, на котором она лежит, т.е. длина – ф-ция от пром. Длина облад св-вом аддитивности. Возьмем малый пром и найдем длину линии над этим пром: ∆l = (dx^2+ dy^2)^0.5 + 0(dx). Заменим этот отр отр-ком кас. ∆l = (1 +y’^2)^0.5*dx+0(dx) знач длина имеет плотн = (1 +y’^2)^0.5*dx. (1 +y’^2)^0.5 = (1 +f’(x)^2)^0.5. l = SS<a><b>(1+(f’(x))^2)^0.5*dx. l = SS<a><b>(1+y’^2)^0.5*dx. Т.к. пр-я непр, то этот инт сущ. Пр1: Найд длину линии y=ln(cosx) 0<=x<=pi/4. y’ = -tgx. l = SS<0><pi/4>(1+(tgx)^2)^0.5*dx = ln|tg(3pi/8)|+C.

Предп теперь, что ф-ция задана пар-кими ур-ями. {x=φ(t), y=ψ(t)}, t Э [α,β]. Будем счит, что φ и ψ имеют непрер пр-е, тогда ∆l = (dx^2+dy^2)^0.5+0(dx). ∆l=(x.^2+y.^2)^0.5*dt+0(dt), l=SS<α><β>(x.^2+y.^2)^0.5*dt, l=SS<α><β> (φ.(t)^2+ψ.(t)^2)^0.5*dt. Пр2: Найд дл 1-й арки циклоиды. X=a(t-sint), y=a(1-cost), t Э [0,2pi]. l = SS…=8a. Пр3: Найти длину Элл с полуосями a и b. {x=accost, y=bsint}, t Э [0,2pi], l = 4SS<0><pi/2>(a^2*(sint)^2+b^2*(cost)^2)^0.5dt=4aSS<0><pi/2>(1+(b^2-a^2)*(cost)^2/a^2)^0.5*dt =* c/a=ε *=4aSS<0><pi/2>(1-ε^2*(cost)^2)^0.5*dt. Если 0<ε<1, то этот инт не выр-ся чз эл ф-ции. =4a*E(ε) – полный элиптич инт 2-го рода. Если ε=0, то a=b и мы получ: lокр=4aSS<0><pi/2>(dt)=2pia. Если линия расп в пр-ве, то {x=φ(t), y=ψ(t), z=ω(t)}, t Э [α,β], то аналогично мы получ l=SS(x.^2+y.^2+z.^2)^0.5*dt – т. Пиф для пр-ва.

Нахождение объемов тел по площади поперечных сечений.

В пр-ве имеется ОХ , имеется тело, которое огр парой плоскостей х=а и х=b. Возбм х из [a,b] и провед перп сеч тела, прох чз (.)х и ОХ. Будем счит, что при кажд х нам изв Sсеч= S(x). Постар найт V тела. Объ – адд ф-ция, взят от промеж, леж на ОХ. Рассм малую часть V, закл мд двумя сечениями, провед а (.)х и (.)х+dx. Нетр видеть, что гл часть V=dV=S(x)dx, поэт Vвсего тела = SS<a><b>(S(x)dx). Примеры: Найд V тела, огр трехосн эллипсоидом. x^2/a^2+y^2/b^2+z^2/c^2=1 – Ур-е пов. Перес это тело, у котор z=const и –c<=z<=c, тогда гран сеч: x^2/a^2+y^2/b^2= 1-z^2/c^2. x^2/(a^2(1-z^2/c^2))+y^2/(b^2(1-z^2/c^2)) = 1. В сеч – Элл, полуоси котор им вид a(1-z^2/c^2)^0.5 и b(1-z^2/c^2)^0.5. S(z) –

пл элл = pi*a(z)*b(z) = pi*ab(1-z^2/c^2). Найдем V: V=SS<-c><c>(S(z)dz)=pi*abSS<-c><c>(1-z^2/c^2)dz =2pi*abSS<0><c>(1-z^2/c^2)dz =2pi*ab-2pi*abSS<0><c>(z^2/c^2)dz =2pi*ab-2pi*abz^3/(3*c^2)|<0><c> = 4/3pia^3. Найдем ф-лу для объема тела вращ. Y=f(x) – гр-к ф-ции, a<=x<=b, этот гр-к вращ вокр оси ОХ => обр тело вращ, огр 2-я плоск x=a и x=b. Очев, при всяк x попер сеч этого т будет круг, с рад равн y=f(x). Площ такого круга S(x)=pi*f(x)^2, отсюда Vтв=piSS<a><b>(f(x)^2)dx. ПР: найд V параболоида вращ с рад осн r и выс h. (рис, где верт параб-ид, выс h и r в пр-ции осн). Y=αx^2, α=h/r^2, y= (h/r^2)*x^2. V=piSS<0><h>(x^2dy) = pi*r^2/hSS<0><h>(ydy) = ½*pi*r^2*h.

Нахождение площадей в полярных ск

В пск линии зад Ур-ями: po=po(fi), α<=φ<=β. Рис, где лучи, ось, углы α,β. Найд S крив сектора, огр зад кривой и парой лучей φ=α,φ=β. Если этот сект на мал, то будет вып адд. Рассм сект, огр φ и φ+dφ. 2pi – pi*po^2, dfi – dS, dS=0.5SS(ρ(φ)^2*dφ) – ф-ла S в пск.

ПР: найти Sфиг, огр лин (x^2+y^2)^2 = a^2(x^2-y^2). Есть симм отн обоих осей. x= ρcosα, y=ρsinα, подст, получ ρ=а(cos2α)^0.5. В 1 четв: 0<=2fi<=pi/2, 0<=fi<=pi/4. рис: знак беск нанизан на ось х, симм во всех четвертях, угол касс в 0 равен 45. это Лемниската Бернулли. Пр-е расст до 2-х фокусов одинакова. Sлем= 4*1/2*SS<0><pi/4>(a^2*cos(2fi))dfi = a^2*sin(2fi)|<0><pi/4> = a^2.

НАХОЖДЕНИЕ ДЛИН ЛИНИЙ В ПОЛЯРНЫХ КООРДИНАТАХ.

po=po(fi), α<=φ<=β, {x= ρ(fi)cosα, y=ρ(fi)sinα}. dl = (dx^2+dy^2)^0.5=…=((po’(fi))^2 + (ro(fi))^2)^0.5*dfi. L=SS<α><β>((po’(fi))^2 + (ro(fi))^2)^0.5. ПР: найти длину линии ρ=a(1+cosφ), φ Э [-pi; pi].- кардиоида. (рис: типа яблока веткой влево, нанизано на х, ветка в 0, а хвост в 2а). l=2SS<0><pi>(a^2(1+cos(fi))^2+a^2*sin(fi)^2)^0.5*dfi = 8a.

НАХОЖДЕНИЕ МАССЫ СТЕРЖНЯ ПО ПЛОТНОСТИ.

Предп, что есть прямол стерж [0,l(это L)] на оси x, допуст, что в кажд (.)х этого ст изв его ρ. Найд массу этого ст. М обл св-вом адд. Если [x,x+dx], то элем масса dm=ρ(x)dx. M-SS<0><l>(ρ(x)dx). Предп теперь, что у нас на плоск имеется криволин стерж, котор имеет форму лин y=f(x). В кажд (.) этого ст изв ρ: ρ(x,y)= ρ(x,f(x)). Для такого станд элем m: dm= ρdl= ρ(1+f’(x))^0.5*dx. m=SS<a><b> (ρ(1+y’(x)^2))dx. Если бы крив была зад x=x(t),y=y(t), α<=t<=β, то m=SS<α><β>( ρ(x.^2+y.^2)^0.5)dt. Аналогично, если бы в пр-ве, только бы +z.^2.

НАХОЖДЕНИЕ ПУТИ ПО СКОРОСТИ.

(.) движ прямолин так, что в кажд мом врем изв ее скор v(t), тогда элем путь, пройд (.) за пром врем [t,t+dt] dS=v(t)dt. Кроме того, путь обл св-вом адд, отн пром врем, поэт за пром врем от t1 до t2 пройд (.) путь: S=SS<t1><t2>(v(t)dt).

НАХОЖДЕНИЕ РАБОТЫ СИЛЫ.

Предп, что (.) движ прямол вдоль OX. При этом на нее действ сила F(x), и напр под α(x) к ох. (рис). Если мы рассм элем перемещ из х в х+dx, то соотв элем раб будет такой dA=F(x)cosxdx. Заметим, что раб на всем переем может рассм как сумма работ на отд частях. Если (.) из а в b, то A=SS<a><b>(f(x)cosα(x))dx.

ПР: Какую раб надо затр для под тела, имеющ массу m с пов на H. (рис). Пусть R – рад Земли, х – расст от (.) до пов-сти Зем, тогда по ЗВсТяг: P(x)= k/(x+R)^2. P(0)=k/R^2=mg => k=mgR^2. P(x)=(mgR^2)/(R+x)^2. Для x-> x+dx: dA = P(x)dx = (mgR^2*dx)/(R+x)^2. A=SS<0><H>(mgR^2)/(R+x)^2*dx=(mgRH)/(R+H). Если H<<R, то A=mgH.

НАХОЖДЕНИЕ РАБОТЫ ПО МОЩНОСТИ.

Если А(t) – раб, зав от вр => очев, что эта раб должна обл св-вом адд отн пром врем. Кроме того dA(t)/dt=N(t), отсюда dA(t)= N(t)dt => N –плотн, по отн к раб => A за [t,t+dt]: A=SS<t1><t2>(N(t)dt). ПР: предп, что им период-кий ток J(t)= J0*sin(ωt+fi). Этот ток им период T=2*pi/ω. Предп, что ток прох чз R – омич сопр, тогда мощн N(t)= RJ^2(t), знач в наш случ: N(t)=RI0^2sin^2(ωt+fi), это озн, что раб тока за период: A=SS<0><T>(RJ0^2sin^2(ωt+fi))dt = RJ0^2SS<0><T>(1/2(1-cos(2ωt+2fi))dt)= 1/2RJ0^2*T.

НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ПО БЕСКОНЕЧНЫМ ПРОМЕЖУТКАМ.

f(a,+беск) будем счит, что при люб b>=a сущ инт SS<a><b>(f). Перейд к пред lim<b-> беск>(SS<a><b>(f)) наз несоб инт от ф-ции f по пром [a,+беск], обозн он SS<a><+беск>.Если пред сущ, то ф-цию f наз «интегрируемой на пром [a,+беск]», а несоб инт наз «сходящ», и наоборот. ПР: SS<1><+беск>(x^2dx)= lim<b -> беск>(SS<1><b>(x^2))= +беск => расход. ПР2: SS<0><+беск>(dx/x^p)=*. Выясним, при каких р он сход. (a>0). *=lim<b-> +беск>SS<a><b>(dx/x^p)= lim<b->+беск>((x^(-p+1))/(-p+1))|<a><b> = lim<b->+беск>(1/(1-p))(b^(1-p)-a^(1-p)) = {p>1 =>b^(1-p)->0, p<1 =>b^(1-p) -> беск, p=1 => SS<0><беск>(dx/x) (a>0) = lim<b->0>(lnb-lna)=беск} = |-(a^(1-p)/(1-p)), p>1; +беск, p<=1|. т.о. мы доказали Т1: SS<a><+беск>(dx/x)(a>0) сход титтибнк p>1. ПР3: SS<a><+беск>(e^(αx)dx)=lim<b-> беск>SS<a><b>(e^(αx)dx)= lim <b->+беск> 1/α(e^(αb) -e^(αa))= {e^(αb)->0 при b-> +беск, если α<0; e^(αb)->беск при b-> +беск, если α>0} = |(-1/α)*e^(+αa), α<0; +беск, α>0|. Если α=0, то SS<a><+беск>(dx)=+беск, т.е. расход. Т.о. Т2: SS<a><+беск>(e^(αx)dx) сходится титтибнк α<0. Рис(оси, α>0 – ветвь параб вверх, α=0 - || ОХ, α<0 – асс прибл к ОХ, в перв 2 случ – беск, в 3-м - конеч). Задача: y=1/x, x Э (1; +беск). =SS<1><+беск> dx/x = +беск => S=+беск. V=pi*SS<1><+беск>(y^2dx) = piSS<1><беск>(dx/x^2)= -pi/x|<1><+беск> = pi. V – конечен!!.

Предп, что f(x) имеет перв F(x), тогда при всех b справ рав-во: SS<a><b>(f) = F(b)-F(a). (Н-Лейб). Если b->беск или обе ч имеют предел, либо обе ч не им пред, поэтому SS<a><+беск>=F(+беск)-F(a), тем сам мы распр ф-лу Н-Л на несоб инт. Если сущ пр/лев, то сущ лев/прав части. ПР: SS<0><+беск>(dx/(1+x^2))= arctgx|<0><+беск> =0+pi/2=pi/2; SS<0><+беск>dx/(1+x)= ln(1+x)|<0><+беск>= беск, => расх. Предп, что f зад на пром (-беск; b), Если при всяк a<b сущ SS<a><b>(f), то lim<a-> -беск>SS<a><b>(f) будем наз «несоб имт от ф-ции f по пром (-беск; и)» и будем пис: SS<-беск><b>(f). ПР: Т3: SS<-беск><b>(e^(αx)dx) сход титтибнк α>0. На этот инт распр ф-ла Н-Лейбн: SS<-беск><b>(f)=F(b)-F(-беск). Предп, что f зад на всей оси и для люб a и b сущ SS<a><b>(f), тогда lim<a->-беск; b-> +беск>SS<a><b>(f) наз «несоб инт от f по всей вещ оси» и обозн: SS<-беск><+беск>(f), причем a и b никак не св мд собой. ПР: SS<-беск><+беск>(dx/(1+x^2)) = lim<a->-беск; b-> +беск>SS<a><b>(dx/(1+x^2))=lim<a->-беск; b-> +беск>(arctg(b)-arctg(a))=pi.

Пусть f зад на всей оси, инт-уема на люб конеч пром lim<a-> +беск>SS<-a><a>(f) наз «глав знач несоб инт от f по всей вещ оси», обозн так: v.p.SS<-беск><+беск>(f). Если инт сущ, то сущ гл знач и его знач и гл знач дают одно и то же, однако из сущ гл знач не след сущ-е несоб инт. ПР: SS<-беск><+беск>(xdx/(1+x^2))=+беск; v.p.SS<-беск><+беск>(xdx/(1+x^2))=0. Гл знач есть, а инт нет!

Замет, что для инт по всей оси можно запис рав-во: SS<-беск><+беск>(f) = F(+беск)-F(-беск) – ф-ла Н-Л (если сущ п.ч., то сущ л.ч.)

НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ПО НЕЗАМКНУТЫМ ПРОМЕЖУТКАМ.

Пусть f[a,b) и при люб c<b сущ такой инт SS<a><c>(f), тогда lim<c->b-0>SS<a><c> наз «несоб инт от f по [a,b)» и обозн SS<a><b>(f), b-0 – не принято писать. Если lim сущ, то «инт сход», а ф-ция «инт-ема на пром». Если f имеет первообр F, то мы получ SS<a><b>(f)= F(b-a)-F(a). Анал обр вв несоб инт по пром (a,b] и (a,b) и для этих инт сохр ф-ла Н-Л. Т4: SS<0><a>(dx/x^p) (a>0) сход титтк p<1.

При рассм несоб инт возн 2 осн ??: 1) Сущ ли инт? 2) Как выч инт, если он сущ?

ТЕОРЕМЫ СРАВНЕНИЯ ДЛЯ НЕСОБСТВЕННЫХ ИНТЕГРАЛОВ.

Т1: пусть на [a,+беск) зад 2 неот ф-ции f1 и f2, инт-е в люб конеч пром [a;b] и удовл усл: f1(x)<=f2(x), тогда если сущ SS<a><+беск>(f2), то сущ инт SS<a><+беск>(f1). Док-во: рассм J1(b)=SS<a><b>(f1) и J2(b)= SS<a><b>(f2), из усл Т очев, что J1(b)<=J2(b) и, кроме того, очев, что J1(b) и J2(b) возр. Из усл мы знаем, что сущ lim<b-> +беск>J2(b). Возр велич, имеющая lim огр сверху, знач найдется такое М, что J2(b)<=M, но в таком случ J1(b)<=M, т.о. J1(b) возр и огр сверху, знач сущ lim<b->+беск>J1(b), т.е. сущ SS<a><+беск>, читд. Эта Т ост справ для несоб инт ост типов. Следствие: Если вып усл Т, и при этом SS<a><+беск>(f1) расх, то SS<a><+беск>(f2) тоже расх. Заключ: для справ

Т дост, чтобы усл f1(x)<=f2(x) вып не на всем пром [a;+беск), а лишь на некот его части [c,+беск), c>a. Рассм SS<0><+беск>(dx/(x^4+x^2+1)). Очев, что на этом пром вып усл 0<1/(x^4+x^2+1)<1/x^4. Рассм SS<1><+беск>dx/x^4, по теореме сравн будет сходиться SS<1><+беск>(dx/(x^4+x^2+1)), но кроме того SS<0><1>(dx/(x^4+x^2+1)) => весь SS будет сход. ПР: SS<1><+беск>(e^(-x^2))dx, x>1 => x^2>x => e^(-x^2)< e^(-x). SS<1><+беск>(e^(-x)) сход => наш инт тоже сход. Т2: (предельная форма теоремы сравн) на [a; +беск) f1>=0 и f2>=0, инт-емые на люб конеч пром [a,b], тогда если сущ lim<x->беск>(f1(x)/f2(x))=l и l>0, но SS<a><+беск>(f1) и SS<a><+беск> в отн сход-сти ведут себя один, т.е. либо оба сход, либо ода расх. По усл сущ lim<x-> беск>(f1(x)/f2(x))=l(это L)>0. Возьмем ε=l/2, в соотв с опр пред, найд такое С, что при всех x>С буд вып нер-во: l/2<((f1(x))/(f2(x)))<=3l/2. При всех х>C будет вып (l/2)f2(x)<f1(x)<(3l/2)f2(x). Предп теперь, что SS<a><+беск>(f1) сущ, тогда сущ SS<c><+беск>(f1), тогда, в соотв с т. Сравн сущ SS<c><+беск>(l/2)f2, тогда сущ SS<c><+беск>f2 (l/2 –const и на нее можно дел)=> сущ SS<a><+беск>(f2). Т.о. если сущ SS<a><+беск>(f1), то сущ SS<a><+беск>(f2), так же док-ся, что из сущ-я 2-го инт вытек сущ первого.

Вместо предл усл Т можно: если при x-> +беск f1(x)~l*f2(x), (l>0), то тогда в отн сходимости несоб инт вед себя одинак. ПР: SS<0><+беск>(dx/(x^3+x^2+1)), 1/(x^3+x^2+1)~1/x^3 (x-> +беск). Аналог обр предельн т. Сравн рассм дляя ост несоб инт. ПР2: SS<0><pi/2>(dx/sinx), sinx~x (x->0) => 1/sinx~1/x(x->0), SS<0><pi/2>(dx/x)- расх=> наш тоже расх.

Абсолютная сходимость несобственных интегралов

SS<0><+беск>(f) наз абсол сход-ся, если сход такой инт: SS<a><+беск>|f|. Справ Т3: Если сход SS<a><+беск>|f|, то сход SS от самой ф-ции SS<a><+беск>(f). Рассм такой SS: SS<1><+беск>(sinx/x^2)dx, вместо нашего: SS<1><+беск>(|sinx|/x^2)dx, при всех x |sinx|<=1, поэт |sinx|/x^2<=1/x^2. SS<1><+беск>(dx/x^2) сход => SS<1><+беск>(|sinx|/x^2)dx будет сход=> SS<1><+беск>(sinx/x^2)dx тоже сход. ПР2: 2 знаменит несоб инт: 1) Г-ф-ция Эйлера. Г-ф-цией Э от арг α наз Г(α)=SS<a><+беск>(x^(α-1)*e^(-x))dx. Иссл сход-сть этого инт. Разоб его на 2: SS<0><1> (x^(α-1)* e^(-x))dx. Если x-> 0, то x^(α-1)*e^(-x)~x^(α-1). Поэт SS<0><1>(x^(α-1))= SS<0><1> (dx/(x^(α-1))) – сход титтк 1-α<1, титтк α>0. Рассм 2-ю ч нашего инт: SS<1><+беск>(x^(α-1)*e^(-x))dx. Мы знаем след: люб степенн ф-ция раст медл, чем показ, при люб α, x^(α-1) возр медл, чем e^(x/2), при x-> +беск => найд такое С, что при всех х>=C будет вып x^(α-1)<e^(x/2) => при этих х будет x^(α-1)*e^(-x)<e^(-x/2). Мы знаем, SS<C><+беск>(e^(-x/2))dx сход => сход наш SS<1><+беск>(x^(α-1)*e^(-x))dx при люб α. => весь Г(α) сущ при всех α>0. SS(Г(α)): предп, что α>1, тогда SS будет заведомо сущ, тогда Г(α)= SS<0><+беск>(x^(α-1)*e^(-x))dx = SS<0><+беск>(x^(α-1)*d(e^(-x)))= инт по частям: x^(α-1)*e^(-x)|<0><+беск> + SS<0><+беск>(e^(-x)*d(x^(α-1))) = (α-1)SS<0><+беск>(x^(α-2)*e^(-x))dx = (α-1)Г(α-1). Если α>1, то Г(α)=(α-1)Г(α-1) – рекур соотн. Исп-я это св-во Г-ф-ций можно сост табл только для α от 0 до 1 и по этим табл выч знач Г(α). Предп, что α – целое полож число, α=n, тогда Г(n)=(n-1)Г(n-1)= (n-1)(n-2)…1*Г(1) = (n-1)!*Г(1). Г(1)=1^α=1. Г(n)=(n-1)!. Г-ф-ция позв распр пон ! на нецелые числа. Рис (Г(α), параб, прох чз (1,1), (2,1), (3,2), асс прибл к Г). Можно доказ, что Г(1/2)=(pi)^0.5. Г(3/2)=(1/2)!=0,5*(pi)^0.5.

ФУНКЦИИ ГАУССА И ЛАПЛАССА.

1. ф. Гаусса. φ(x)=(1/(2*pi)^0.5)*e^(-x^2/2), х Э R1. 1) φ(x)>0 2) φ(-x)= φ(x) 3) φ(x) убыв при х Э(0, +беск), φ(x) возр при х Э (-беск, 0) 4)max φ(x)= φ(0)= 1/(2*pi)^0.5 5) x=+-1 – (.)(.) перегиба φ(x). (рис – «горка»). 2. ф. Лапласа. Ф(х)= SS<-беск><x>( φ(x))= (1/(2*pi)^0.5)SS<-беск><x>(e^(-t^2/2))dt. Покаж, что этот инт сход при люб х. Для этого разоб инт на 2: SS<-беск><-2>(φ); SS<-2><x>(φ). 2-й всегда сущ – обычный опр инт от непрер ф-ции. (1/(2*pi)^0.5)*SS<-беск><-2>(e^(-t^2/2))dt, t<=-2, t>=-t^2/2 => e^t>=e^(-t^2/2). (1/(2*pi)^0.5)*SS<-беск><-2>(e^t)dt => наш инт тоже сход. Оба инт сход, знач Ф(x) сущ при люб х. 1. Ф(x)>0 (под инт стоит полож ф-ция) 2. Ф’(х)= φ(x)>0 => Ф(х) возр. 3. Ф(-беск)=0 4. Ф(беск)= SS<-беск><беск>(1/(2*pi)^0.5)*e^(-t^2/2)dt = SS<0><беск> (2/(2*pi)^0.5)*e^(-t^2/2)dt=* t^2/2=τ, t= 2^0.5*(τ)^0.5, dt=2^0.5*dτ/(2*(τ)^0.5) *=(2/(2*pi)^0.5)* SS<0><+беск>(e^-τ*(2^0.5/(2*(τ)^0.5)))= 1/(pi)^0.5*SS<0><+беск>(τ^(-0.5)*e^(-τ))dτ= (1/(pi)^0.5)*Г(1/2)= (1/(pi)^0.5)*(pi)^0.5 =1. 5. Ф(0)=1/2, 0 – (.) перегиба. (рис, где Ф(х), до 0 – Ф=0 – асс, после 0 – Ф=1 – асс, перегиб в (0,0.5)). 6. Ф(-х)=1-Ф(х). Сущ табл ф-ции Ф(х). Их сост для [0;4]. Ф(4)= 0,99997. Часто ф-цией Лапласса наз ф-цию SS<0><х>(φ).

КРИВОЛИНЕЙНЫЙ ИНТЕГРАЛ ПО ДЛИНЕ ДУГИ.

Пусть в пр-ве имеет лин AlB, и на этой лин нужна ф-ция f(M), M Э AlB, M(x,y,z). Введем инт от этой ф-ции по этой лин. Для этого разоб к-н (.)(.) лин AlB на n на частей. Эти части занум. Найд длины этих частей (Δl1, Δl2, Δln), затем в кажд из этих частей возьм по (.): M1,M2,Mn. Во взят (.)(.) найд знач ф-ции. F(M1)…f(Mn). Затем сост пр-я: f(M1)* Δl1…f(Mn)* Δln. Эти пр-я слож (постр инт сумм). Z<k=1><n>f(Mk)* Δlk. Наиб из велич Δlk наз рангом др и обозн чз α. Lim<α->0>Z<k=1><n>(f(Mk)* Δlk) наз «инт от f по дл дуги AlB » или «кривол инт». SS<AlB>(f(m)dl)= SS<AlB>(f(x,y,z)dl) – обозн. Лиин инт от вект не завис от напр-я инт-я: SS<AlB>=SS<BlA>. Если лин AlB им длину («спрямляема») и а(д) непр на этой лин, то инт сущ. Св-ва кривол инт анал св-вам опред инт. 1) SS<AlB>(c1f1+c2f2)dl = c1SS<AlB>(f1dl)+ c2SS<AlB>(f2dl), если стоящ справа инт сущ. 2) SS<Al1Cl2B>(fdl)= SS<Al1C>(fdl)+S<Cl2B>(fdl) 3) Если f(M)>=0, то SS<AlB>(f(M)dl)=0. 4) Если f1(M)<=f2(M), то SS<AlB>(f1dl)<=SS<AlB>(f2dl) 5) Если s<=f(M)<=S, тогда s*|l|<=SS<AlB>(f(M)dl)<=S*|l|, где || - не модуль, а обозн длины. 6) Если ф-ция непр на всей лин, вкл концы, то на этой лин найд (.)с, что SS<AlB>(fdl)=f(c)*|l|.

ВЫЧИСЛЕНИЕ ИНТЕГРАЛОВ.

Предп, что наша лин зад: {x=x(t), y=y(t), z=z(t), α<=t<=β}. Тогда dl= (x.^2+y.^2+z.^2)^0.5*dt. Поэт SS<AlB>(f(x,y,z)dl)= SS<α><β>(f(x(t),y(t),z(t))*(x.^2+y.^2+z.^2)^0.5). Это зн, что крив инт свод к обычно пр инт. Это мож док, рассм инт суммы. В частн, если крив на XOY, то =-во прим вид: SS<α><β>(f(x(t),y(t))*(x.^2+y.^2)^0.5*dt). Пример: Выч инт: SS<AlB>(x^2+y^2+z^2)dl=* x=accost, y=asint, z=ht/(2pi), t Э [0; 2pi] *= SS<2pi><0>(a^2cost^2+ a^2sint^2+(h^2*t^2)/ (4*pi^2))*(a^2sint^2+a^2cost^2+h^2/(4*pi^2))^0.5*dt= (4*pi^2*a^2+h^2)^0.5*(a^2+h^2/3).

ПРИМЕНЕНИЕ КРИВОЛИНЕЙНОГО ИНТЕГРАЛА.

1) предп, что им стерж, форма – AlB. Пусть ρ(М) – плот ст в (.)М, тогда масса ст равн SS<AlB>( ρ(M)dl). Док-во: возьм кусочек Δlk. В этом кус – (.)Мk, в этой (.) посч ρ(Мk), тогда масса этого кус Δm≈ ρ(Mk)Δlk. 2) Нах-е стат мом и центров масс. Пусть в пр-ве им матер (.) с массой m и корд (x,y,z). Стат мом этой (.) отн плоск YOZ наз велич: Syoz=mx. Анал введ еще 2 мом: Sxoz=my и Sxoy=zm. Если им сист матер (.)(.), то всяк стат мом сист (.)(.) счит равным сумме мом этих (.)(.), т.е. стат мом (по опр) обл св-вом адд. Введ пон стат мом для стержня: Стерж, имеющ форму AlB, ρ(M) - его плот. Возьм мал кус Δlk. В этом кус Mk(xk,y,k,zk), тогда стат мом этого кус ΔSyoz≈xk*ρ(Mk)*Δlk. Склад все велич и перех к пред, мы получ Syoz= SS<AlB>(x*ρ(M)*dl)= SS<AlB>(x*ρ(x,y,z))dl. Анал нах 2 др мом: (замена множ х на y и z и все…). m=SS<AlB>(ρ(M)dl) –масса. Точка с корд xc=Syoz/m; yc=Szox/m; zc=Sxoy/m наз ц.м. стерж. Если плот ст =1 во всех ()(), то стат мом наз «геометрич-ким». И вместо «стат мом ст» гов «стат мом линии». Если стерж леж на плоск, то для такого ст ввод стат мом отн осей коорд. Sox= SS<AlB>(y*ρ(M)*dl), Soy = SS<AlB>(x*ρ(M)*dl). 3) Нах-е мом инерции. Предп, что им матер (.) (x,y,z) и с массой m. Мом ин этой (.) отн оси Х наз такая велич Jxx=(y^2+z^2)m. Анал ввод Jyy=(z^2+x^2)m и Jzz=(x^2+y^2)m. Мом ин сист матер (.)(.) равен сумме мом ин этих (.)(.). М.и. обл св-вом адд. Если в пр-ве им стерж, форма котор совп с лин AlB и если нам изв плотн ρ(m), то мом ин стерж нах по таким ф-лам: Jxx=SS<AlB> (y^2+z^2)ρ(M)dl, Jyy=SS<AlB> (x^2+z^2)ρ(M)dl+ Jzz=SS<AlB> (x^2+y^2)ρ(M)dl. Если стерж леж на плоск, то J упрощ (1 коорд вместо суммы).

ЛИНЕЙНЫЙ ИНТЕГРАЛ ОТ ВЕКТОРА (КРИВОЛИНЕЙНЫЙ ИНТЕГРАЛ ПО КООРДИНАТАМ).

Пусть есть AlB на котор задан F_(M)= P(M)i_+Q(M)j_+R(M)k_. M(x,y,z) – (.). Разоб AlB к-н ()() на n частей. Обозн ()(): A=A0,A1,A2…An-1,An=B. Затем кажд из частиц замен вект Δl1_=A0A1_, Δl2_=A1A2_,…, Δln_=An-1An_. На кажд части лин возьм по 1(.). М1, М2…Мn. В этих ()() найд знач вект. F_(M1), F_(M2),…, F_(Mn). Сост скал пр-я F_(M1)Δl1_,…, F_(Mn)Δl_n. Слож: Z<k=1><n>(F_(Mk)Δlk_). Рассм дробл наз длину наиб из всех част на котор разб лин. Lim<λ->0>Z<k=1><n>(F_(Mk)Δlk_) при ранге др стр к 0 наз инт SS<AlB>(F_). (лин инт от вект). Обозн этот инт таким обр: SS<AlB>(F_(M)dl_). Заметим след. Пусть Δlk_= Δxk*i_+Δyk*j_+Δzk*k_, тогда F_(Mk)*Δlk_= P(Mk)*Δxk+Q(Mk)*Δyk+R(Mk)*Δzk. В соотв с этим инт сумм запишем: Z<k=1><n>(пред выр-е), при λ->0 эта сумма превр в инт: SS<AlB>(P(M)dx+Q(M)dy+Q(M)dz), где M(x,y,z). Раб силы = сумме раб компон. Если (.)В совп с (.)А, т.е. лин оказ замкн конт, то такой инт наз «циркуляцией вектора по контуру». SS<AlA>(F_(M)dl_)={круг на интеграле}, иногда на этом зн еще указ напр обхода. Если лин AlB имеет дл, а F_ имеет непр проекции, то инт сущ. Отметим св-ва инт: 1. SS<AlB>=-SS<BlA> 2. SS<Al1Cl2B> = SS<Al1C>+SS<Cl2B> (если стоящ справа инт сущ) 3. SS<AlB>(c1F1_(M)+c2F2_(M))dl = c1*SS<AlB>(F1_(M)dl_)+ c2*SS<AlB>(F2_(M)dl_) – св-во лин-сти (справа инт сущ). 4. Лиин инт от вект нетр свести к инт от по дл дуги. Обозн зч α(М) угол, котор F_(M) сост с лин в (.)М, тогда F_(M)*dl_=F(M)dl*cos(α(M)), тогда SS<AlB>(F_(M)dl_)= SS<AlB>(|F_(M)|*cos(α(M))*dl) – инт по длине дуги. Лин инт от вект исп для нах раб силы при переем (.). Если () движ по AlB и при этом на нее действ F_(M), то рабю силы W=SS<AlB>(F(M)*dl_)=SS<AlB>(P(M)dx+ Q(M)dy+ R(M)dz). Предп, что AlB зад пар-кими Ур-ями: {x=x(t), y=y(t), z=z(t), t Э [α;β]}, причем α – А, β – В, тогда SS<AlB>(F_(M)*dl_) = SS<AlB>(P(M)dx+Q(M)dy+R(M)dz) = SS<α><β>(P(x(t) , y(t) ,z(t)) *x.+ Q(…)*y.+ R(…)*z.)dt. Это =-во доказ так: надо постр инт суммы для лев и прав ч и перех к пред. ПР: SS<AlB>(zdx+xdy+ydz)=* если AlB – отр прям, соед A(-1;1;2) и B(2;4;8). (x+1)/3=(y-1)/3=(z-2)/6. {x=3t-1; y=3t+1; z=6t-2; t Э [0,1]}. *= SS<0><1>((6t+2)3+ (3t-1)3+ (3t+1)6)dt = 63/2.

Двойной интеграл.

Пусть на XOY есть обл Д в котор зад f(M)= f(x,y). (рис: оси+облачко). К-н лин разоб Д на n частей, занумер. Затем найд площ част. ΔS1, …, ΔSn. В кажд части возьм по (). Обозн их М1, …, Мn. Сост пр-я: ΔS1*f(M1), ΔS2*f(M2),…, ΔSn*f(Mn). Сложим пр-я (постр инт сумму). Z<k=1><n>(f(Mk)*ΔSk). Рассм частичку. Диам част будет наз sup раст мд точкой и част. Рангом др назов наиб из диам тех частей, на котор разб наша обл. Если ранг др стрем к 0, то число част растет, а SS уменьш => 0. Предел инт суммы при λ->0: lim<λ->0>Z<k=1><n>(f(Mk)*ΔSk) наз инт от f по обл Д. (или двойным). Обозн: SSДSS(f)= SSДSS(f(M)*dS)= SS(f(M)*dS)= SSДSS(f(x,y)dxdy). Т: Если обл Д имеет площ, а f непр на всей обл, вкл её гран, то SSДSS(f) сущ. Св-ва двойного инт: такие же как у один инт, но вместо SS<a><b> надо SSД. Использование: 1. Нах объемов тел. Будем счит, что в Д Э R2 зад ф-ция z=f(M), причем f(M)>=0. Постр гр-к ф-ции. (рис: оси (3 шт), след на ХОУ, горка объемная висит сверху). Зад: найти V тела, огр z=f(M), плоск XOY и цил, у котор напр-ие – границы Д. реш: Разоб осн (Д) на n част как-н лин, занумеруем. Через лин делен провед верт цил от плоск до Перес с пов-стью, тогда рассматриваемое тело разоб на n столбиков. Возьм част номером k и S=ΔSk. В этой част возьм (.)Мk, и найд знач ф-ции, тогда можно найти V столбика: ΔVk= ΔSk*f(Mk). Сумма об всех столб будет (прибл) Z<k=1><n> (f(Mk)*ΔSk). Введ ранг дробл λ, тогда Lim<λ->0>Z<k=1><n> (f(Mk)*ΔSk) будет объемом тела. Это знач, что V= SSДSS(f(M)ds).

2. Нахожд площ пов-сти. Д Э R2, z=f(M), постр гр-к => пов-сть. Задача: найти S пов-сти z=f(M). Разоб Д на n частей к-н линиями, занумеруем, найдем их S. Пров верт цил до Перес с пов-стью => пов-сть разоб на части (n шт). Обозн через Δσk площ k-той частицы пов-сти. Возьм (.) на пов-сти, провед касс плоск и замен кус пов-сти соотв кус кас плоск. ΔSk≈ Δσk*cosφk, где φk- угол мд касс плоск и ХОУ. Δσk≈ ΔSk/cosφk. Как мы зн, угол мд 2 плоск – угол мд их нормалями => φk – угол мд норм к пов-сти и ОZ. Норм имеет корд: {-f’x; f’y; 1} – вектор. => cosφk = 1/(f’x^2+f’y^2+1)^0.5 => Δσk≈(f’x^2+f’y^2+1)^0.5* ΔSk, отсюда σk≈Z<k=1><n>((fx’(Mk))^2+(fy’(Mk))^2+)^0.5* ΔSk, введем λ и получ выр-е для полной пов-сти: σ=lim<λ->0>Z<k=1><n>(пред выр-е). т.е σ=SSДSS(пред выр-е). Для сущ дост чтобы f в Д имела непр частн пр-е. Или σ=SSДSS((p^2+q^2+1)^0.5*ds).

3. Нахождение моментов и центров масс пластины.

Пусть имеется плоск пласт, заним Д на ХОУ. Обозн чз ρ(M) плотн этой пласт в ()М. (плотн в расч на ед площ). Тогда масса пласт: m=SSДSS(ρ(M)dS). Стат мом отн ox: Soy=SSДSS(x*ρ(M)dS), ox: Sox=SSДSS(y*ρ(M)dS). ()xc=Soy/m, yc=Sox/m – ц. м. Мом наз «геометр». Анал обр ввод мом инерц (мом 2-го пор, центробеж мом): Jxx=SSДSS (y^2*ρ(M)dS), Jyy,Jzz. Пример с рельсой и просто бруском. У рельсы мом больше.

Вычисление криволинейного интеграла в декартовой с.К.

SSДSS(f(x,y)dxdy). Будем счит, что Д на ХОУ огр парой прям: x=a и x=b. (рис, где у тучки срезали края, φ2,φ1). Сверху и снизу: x= φ1(x), a<=x<=b, y= φ2(x), a<=x<=b, причем φ1(х)<=φ2(x). Это – «простая» обл по отн к ох. Буд счит, что f(x,y)>=0, тогда SSДSS- это V тела, леж над нашей Д. V=SSДSSf(x,y)dxdy. Рис(3 оси, х – на нас, искаженно тучку, что над ней, образующие). Сдел след: возьм x мд a и b чз эту (.)провед плоск перп ОХ. В рез-те – S попер сеч тела. Обозн S сеч через Sx, тогда V= SS<a><b>(S(x)dx). S(x)=SS< φ1(x)>< φ2(x)>(f(x,y)dy). Это знач, что V= SS<a><b>(SS< φ1(x)>< φ2(x)>(f(x,y)dy)dx. Сравнивая 2 выр-я для V получаем, что двойной инт можно запис как повт. SSДSS(f(x,y)dxdy) = SS<a><b>(SS<φ1(x)><φ2(x)>(f(x,y)*dy))dx. В общ случ ф-ла ост такой-же. Если обл непростая, то её надо разб на части. Напис нами рав-во принято запис в виде: SSДSS(f(x,y)dxdy) = SS<a><b>dx*SS<φ1(x)><φ2(x)>f(x,y)*dy. Пример: найти V тела, огр ХОУ, z=x^2+y^2, у=1, y=x^2. рис (3 оси, пар, плоск над ней, все ост). V= Sszdxdy = SSДSS(x^2 +3y^2)dxdy = SS<-1><1>dxSS<x^2><1>(x^2+ 3y^2)dy = 208/105.

Криволинейные координаты на плоскости.

Если кажд ()М на плоск став по нек прав 1 опред пара чисел (U,V) и наоб кажд паре (U,V) отвеч опред () плоск, то говор, что на плоск зад с.к. Заметим, что в некот с.к. такое взаимоодн соотв может наруш в 1 (.). Мн-во ()() плоск, где 1 из корд пост наз «корд лин». Очев, что всякой ск отвеч два сем-ва корд линий. Одно сем опред U=const, другое – V=const. Они обр корд сетку. Если на плоск имеется 2 коорд сист, то мд этими сист должно сущ взаимоодн соотв (кажд паре в 1 отв 1 пара в др и наоборот). В частн – дек ск. (x;y) и произв (u;v), то х и у должны выр-ся через u и v и наоборот: {x=x(u,v); y=y(u,v)}

Или {u=u(x,y); v=v(x,y)}. Пример: полярн корд. M(ρ,φ), где ρ – расст от () до 0, а φ – угол мд вект и осью. Причем: ρ Э [0, +беск], -pi<=φ<=pi. Начало корд ρ=0 не имеет корд φ. Корд линиями будут ρ=const (окр-сти с ц в ()0), φ=const (лучи, вых из нач коорд). (рис). Если полярная ось совп с ОХ, то {x= ρ cos φ; y= ρ sin φ }.

Нахождение двойного интеграла в криволинейных координатах.

Если мы хотим выч двойн инт в к-л корд сист, то для этого при построении инт суммы нужно делить обл инт-я на части корд линиями. В таком сл надо уметь нах площ частей, огр корд линиям. Пример: 1) имеется декартова ск, то корд линиями будут прям || корд осям и dS=∆x∆y= dxdy. 2) криволин ск – (u,v). Рассм фигуру, огр двумя парами близк корд линий. рис(кривосторонний прямоугольник, u=const, u+du=const, v=const, v+dv=const, M1,M2,M3). Будем наз «элем площадкой». Гл часть площади такой эл площ назыв «дифф площади» в нашей ск. M1(u,v), M2(udu,v), M3(u, v+dv). Пользуясь тем, что ск связ с др ск: пусть M1(x,y) – в дек ск, тогда {x=x(u,v); y=y(u,v)}=> M1(x(u,v), y(u,v)); M2(x(u+du,v) ,y(u+du,v)); M3(x(u,v+dv), y(u,v+dv)). x(u+du,v)- x(u,v) ≈(δx/δu)du; y(u+du,v)- y(u,v) ≈(δy/δu)du - вместо отр кривой взяли отр касс. x(u,v+dv)- x(u,v) ≈(δx/δv)dv; y(u,v+dv)- y(u,v) ≈(δy/δv)dv. Теперь точки М2 и М3 замен ()() M2’(x+ (δx/δu)*du, y+ (δy/δu)*du); M3’(x+ (δx/δv)*dv, y+ (δy/δv)*dv). Перейдя к этим ()() мы замен кривол паралл на паралл, пост на ребрах (M1M2’)_, (M1M3’)_. Эти векторы имеют проекции: (M1M2’)_= ((δx/δu)*du, (δy/δu)*du), (M1M3’)_= ((δx/δv)*dv, (δy/δv)*dv). dS=|(M1M2’)_* (M1M3’)_|= ||i, j,k/ (δx/δu)*du, (δy/δu)*du,0 /(δx/δv)*dv, (δy/δv)*dv,0|| = |k_|(δx/δu)*du, (δy/δu)*du /(δx/δv)*dv, (δy/δv)*dv || = *; |k_|=1 => k исчезнет. *=|(δx/δu)*du, (δy/δu)*du /(δx/δv)*dv, (δy/δv)*dv |dudv. Этот опред будем обозн через J(u,v) и назыв опред Якоби или «Якобианом». dS = |J(u,v)|dudv – в любой ск d площ имеет вид. Поэт если мы вычисл SSДSS(f(M)dS), то в кривол ск он запис SSДSS(f(u,v)*|J(u,dv)|dudv). В кач примера рассм полярн ск: x=ρcosφ, y= ρsinφ, J|δx/δρ, δy/δρ/ δx/δφ, δy/δφ| = |cosφ, sinφ /-ρsinφ, ρsinφ |= ρcosφ^2+ρsinφ^2=ρ. Отсюда dS = ρdρdφ. В соотв со сказ, в пол ск SSДSS(f(M)dS)= SSДSS(f(ρ,φ) ρ dρ dφ). Пример1: найти Sпов z=(x^2+y^2)/R, где 0<=z<=R. Площ пов σ= SSДSS(1+zx’^2+zy’^2)^0.5*dS = 1/R*SSДSS(R^2+4(x^2+y^2))^0.5*dS =* перейд к пол ск *= 1/R*SSДSS(R^2+4ρ^2)^0.5*dρ*dφ*ρ = то же, только пределы –pi, pi- у внеш, <0><R>- у вн. и dφ вынесен мд SS = (pi/6)*(5(5)^0.5-1)R^2.

Интеграл пуассона.

Инт Пуассона наз SS<-беск><+беск>(e^(-x^2)*dx). Обозн этот инт чз J, тогда J^2 = SS<-besk><besk>(e^(-x^2)*dx)*SS<-besk><besk>(e^(-y^2)*dy). Этот инт можно рассм, как повт. Этот повт превр в двойной. *=SSП(П=R2)SS (e^-(x^2+y^2)*dx*dy). В этом двойн инт перейд к полярн ск: *= SSПSS(e^-(ρ^2)*ρ*dρ*dφ), а теперь снова к повт: *= SS<-pi><pi>dφ* SS<0><+беск>(e^(-ρ^2)*ρ*dρ)= 2pi((-1/2)*e^(-ρ^2))|<0><+беск> = PI.

  1. SS<0><беск>(e^(-x^2)*dx)= pi^0.5/2 (тк под инт четная ф-ция).

  2. Ф(беск)= (1/(2pi)^0.5)*SS<-беск><беск>(e^(-t^2/2))*dt. – ф-ция Лапласа. t/2^0.5=x, *= 1. Ф(беск) = 1.

  3. Вычислим Г(1/2)= SS<0><беск>(x^(α-1)*e^(-x)*dx)= SS<0><беск>(x^(-1/2)*e^(-x)*dx) = * x=t^2 => t=(x)^0.5 *=SS<0><беск>((1/t)*e^(-t^2)*2t*dt) = 2SS<0><беск>(e^(-t^2)*dt) = (pi)^0.5, Г(1/2)= (pi)^0.5.

Интеграл по площади поверхности.

Пусть в пр-ве имеется пов-сть ∆, на которой задана ф-ция f(M). Введ инт по этой пов. Разоб пов к-н лин на n частей, занумер, найдем площ этих частей: ∆σ1,∆σ2,…,∆σn. В кажд из част возьмем по (). Обозн их M1, M2, …, Mn. Вычисл знач ф-ции в этих ()(). F(M1),…, F(Mn). Сост сумму вида Z<k=1><n>(f(Mk)*∆σk). Введем ранг др – наиб из диам. (расст мд ()() мерить вдоль пов-сти. ). Lim<λ-> 0>Z<k=1><n>(f(Mk)*∆σk) – наз-ся инт от f по пов-сти ∆. ==SS<∆>(f(M)*dσ). Если пов-сть ∆ имеет площ, а f непр по всей пов-сти ∆, вкл границы, то инт сущ.

Св-ва инт по пов-сти = св-вам двойного инт.

Вычисл так: Если пов-сть зад явным Ур-ем z=φ(x,y), где (x,y) – (.) Э Д, Д Э R2, то dσ= (1+φx’^2+φy’^2)^0.5*dS. SS<∆>SS = SS<Д>SS(f(x,y,φ(x,y))*(1+φx’^2+φy’^2)^0.5*dS). (повт инт в двойной). Этот инт можно исп для нах масс стат мом инерц кривол пласт, расп в пр-ве. Предп, что имеется пов ∆ и в кажд () этой пов-сти F_(M). Выберем к-н из сторон этой пов-сти, и в кажд (.) проведем нормаль, соотв этой стороне, затем возьмем алг пр-цию вектора на нормаль Fn(M). SS∆S(Fn(M)*dσ) наз «потоком» F_n через пов-сть ∆. Пример: предп, что в нач корд помещ заряд q, тогда этот заряд порожд E_=k*(q/r^2)*r0_, здесь r_ - рад-вект, r0 = орт. Найд поток вект напр чз пов-сть сферы с R и центром в (.)(0;0). Ф=SS∆SS(Fndσ)=* Возьм () на сфере, n_||r_, E_||r_. В нашем сл напр нормали и напр вектора совп. *= SS∆SS((kq*dσ)/R^2) (на пов-сти сферы пост)= (kq/R^2)*SS∆SS(dσ)=* (kq/R^2)*4pi*R^2 = 4pi*kq. – поток вектора через сферу.

Тройной интеграл

Предп, что в пр-ве R3 задано нек тело Т, и в этом телезад f(M)=f(x,y,z). Введем интеграл от этой ф-ции по этому телу. Разоб тело к-н пов-стями на n частей. Части занумеруем. Найд объемы этих частей, ∆V1, …, ∆Vn. В кажд частичке возьм по (). Эти ()()M1,…,Mn. Вычислим в этих ()() знач-я ф-ции. f(M1), …., f(Mn). Затем сост пр-я вида: f(Mk)*∆Vk, и эти пр-я сложим. Z<k=1><n>(f(Mk)*∆Vk) – инт-я Z. Введ понят ранга дробл. Предел постр суммы при λ-> 0 наз-ся инт от f по T или тройн инт от f по T. Lim<λ->0>( Z<k=1><n> (f(Mk)*∆Vk))= SSS<T>SSS(f(M)*dV)= SSS<T>SSS(f(x,y,z)dxdydz). Можно ввести n-мерн инт. Св-ва тройн инт анал двойному. Если во всем теле Т f непрер, то инт сущ. С пом 3-го инт можно выч массы тел, моменты тел, цм тел (находить).

Вычисление тройного интеграла.

Предп, что тело Т огр снизу z=φ1(x,y), (x,y) Э Д. сверху z= φ2(x,y), (x,y) Э Д, а сбоку цил пов-стью, у котор образующая || оси z, а напр-ей явл гр Д. рис (3 оси, проекция- Д, 2 плоск на разн выс.). Тогда тройной инт SSS<T>SSS(f(M)dV)= SSS<T>SSS(f(x,y,z)dxdydz)= SS<Д>SS(dxdy)SS<φ1(x,y)> <φ2(x,y)>(f(x,y,z)dz). Пример: Найд корд цм треуг пит, которая ограничена тремя коорд плоск и плоск x+y+z=a. рис(пир на 3 осях, на каждой отсенает а). коорд цм: xc=Syoz/V, yc=Szox/V, zc=Sxoy/V. V=a^3/6. xc=yc=zc. Поэтому найд zc. Sxoy= SSS<T>SSS(zdV)= SSS<T>SSS(zdxdydz)= SS<Д>SsdxdySS<0><a-x-y>zdz = SS<Д>SS(z^2/2|<0><a-x-y>)dxdy = 1/2SS<Д>SS(a-x-y)^2*dxdy = 1/2SS<0><a>SS<0><a-x>(a-x-y)^2dy = ½SS<0><a>(-(a-x-y)^3/3)|<0><a-x>dx=0+ 1/6SS<0><a>((a-x)^3dx) = -1/6*(a-x)^4/4|<0><a>= 1/24*a^4. Sxoy=a^4/24; Sxoy/V=xc=yc=zc=a^4/24*6/a^3=a/4. xc=yc=zc=a/4. простейшие жестк фиг: отр (R1) – цм a/2, треуг (R2) – цм a/3, пир(треуг) (R3) – цм a/4, => a/(n+1).