38.Ряды Тейлора и Маклорена.
Если ф-я f(x) на интервале (х0-R; х0+R) разлагается в степенной ряд, то этот ряд называется рядом Тейлора.
Если ф-я f(x) на интервале (х0-R; х0+R) дифференцируема любое число раз, то для неё можно построить ряд Тейлора.
Ряды Тейлора
и Маклорена.
Если функция f(x)
разлагается в ряд по степеням ( x
- x0),
то этот ряд имеет вид : f(x)=
f(x0)+
f
’(x0)/1!
(
x - x0)+
(f ’’(x0)
(
x
- x0)2)/2!+…+
=( f
n
(x0)
(
x
- x0)n)/n!
+…=
(
f
n
(x0)
(
x
- x0)n)/n!
Степ
ряд такого вида наз-ся
рядом Тейлора
ф-и f(x)
в т. x0.
Если x0
= 0,
то такой ряд наз-ся рядом Маклорена.
Теорема:
Ряд
Тейлора сходится тогда и только тогда,
когда остаток ряда стремится к нулю при
,
т.е. для всех значений x
из интервала сходимости 
.
Теорема(дост.
условие разложения в ряд Тейлора):
Если производные любого порядка n=0,1,2…
функции
f(x)
ограничены в некоторой окрестности
точки x˳
одним и тем же числом M>0,
т.е. 
,
то ряд Тейлора функции f(x)
сходится к f(x)
для любого
x
из этой
окрестности. Теорема:
Если
функция f(x)
разложима
в ряд Тейлора, то это разложение
единственно. Разложение
функции в ряд Тейлора (Маклорена):
1)Находим
знач. произв. f(x˳),
f’(x˳),…
(x˳)для
ряда Тейлора и f(0),
f’(0),…,
(0)
для ряда Маклорена.
2)Находим общую формулу для n-ой производной данной функции. 3)Записываем разложения в ряд Тейлора или Маклорена. 4)Находим область сходимости полученных рядов с помощью формул Даламбера или Коши.
39.
1) f(x)=ex
f(x)=f ‘ (x)=…=f (n) (x)=ex
f(0)=f ‘ (0)=…=f (n) (0)=e0=1
По формуле составляем ряд маклорена
2) f(x)=sinx
f ‘(x)= cosx=sin (x+ π/2)
f ‘’(x)= - sinx=sin (x+ 2π/2)
f ‘’’(x)= - cosx=sin (x+ 3π/2)
f (n) (x)= sin (x+ π/2),
полагая, что х=0, получаем f(0)=0
f ‘ (0)=1
f ‘’ (0)=0
f ‘’’ (0)=-1 и т.д.
Легко доказать,
что ряд сходится абсолютно на всей
числовой прямой, след. для любого х
справедливо разложение:
3) f(x)=cos
При любом х
разложение в ряд Маклорена имеет вид:
4) f(x)=ln(1+x)
При х, принадлежащих (-1; 1], разложение в ряд Маклорена имеет вид:
