4. Момент силы относительно центра

Момент силы относительно точки О - это вектор, модуль которого равен произведению модуля силы на плечо - кратчайшее расстояние от точки О до линии действия силы. Направление вектора момента силы перпендикулярно плоскости, проходящей через точку и линию действия силы, так, что глядя по направлению вектора момента, вращение, совершаемое силой вокруг точки О, происходит по часовой стрелке.

Если известен радиус-вектор r⃗  точки приложения силы F⃗  относительно точки О, то момент этой силы относительно О выражается следующим образом:

M⃗_O(F⃗) = r⃗×F⃗.

Действительно, модуль этого векторного произведения:

|M⃗_O| = |r⃗×F⃗| = |r⃗||F⃗|sinα.

В соответствии с рисунком |r⃗|sinα = h, поэтому:

|M⃗_O| = |F⃗|h.

5. Момент силы относительно оси. Аналитический и геометрический способы.

Проекция момента силы относительно точки на некоторую ось, проходящую через эту точку называется моментов силы относительно оси.

Момент силы относительно оси вычисляется как момент проекции силы F⃗ на плоскость Π, перпендикулярную оси, относительно точки пересечения оси с плоскостью Π:

Mz(F⃗) = Mz(F⃗_Π) = ±F_Πh. Знак момента определяется направлением вращения, которое стремится придать телу сила F⃗_Π. Если, глядя по направлению оси Oz сила вращает тело по часовой стрелке, то момент берется со знаком «+», иначе – «-».

1. Аналитический

По правилу вычисления векторного произведения:

Откуда

,

,

.

2. Геометрический

 

 

 

 

Для вычисления момента силы относительно оси необходимо провести плоскость (рис. 3.4), перпендикулярную данной оси , спроецировать силу на эту плоскость и вычислить момент проекции относительно точки − точки пересечения оси с плоскостью . Эквивалентность этих двух способов вытекает из равенств

.

Момент положителен, если, глядя с положительного направления оси, вращение видно происходящим против хода часовой стрелки.

6. Пара сил. Теорема о сумме моментов сил пары относительно произв. Центра.

Пара сил - это система двух равных параллельных сил, направленных в разные стороны

Кратчайшее расстояние между линиями действия сил называют плечом пары h , а плоскость П, где лежит пара сил, является плоскостью пары.

Первое свойство. Пару сил нельзя привести к силе.

Второе свойство. Действие пары сил на твердое тело определяется моментом пары, который является свободным вектором, перпендикулярным плоскости пары, численно равным произведению силы на плечо пары.

Следствия из второго свойства пары.

1. Действие пары на твердое тело не изменяется, если пару сил поворачивают в плоскости пары.

2. Действие пары сил на твердое тело не изменяется, если пару сил переносят в другое место плоскости пары.

3. Действие пары сил на твердое тело не изменяется, если ее перенести в плоскость, параллельную плоскости пары.

Сумма моментов сил пары относительно произвольной точки равна моменту пары.

Доказательство. Выберем произвольную точку (рис. 3.7) . Сумма моментов сил пары относительно точки :

,

так как , то .

Следствие: Момент пары не зависит от выбора центра.