25. Обобщенные силы и способы вычисления.

Рассмотрим механическую систему, положение которой однозначно определяется s обобщенными координатами .

Выразим радиус-векторы точек системы через обобщенные координаты и время

и найдем вариации радиус-векторов

Определим сумму работ всех активных сил на некотором виртуальном перемещении системы

Из последних двух формул, изменяя порядок суммирования, получим

Введем обозначения

тогда равенство ( ) примет вид:

Величину , равную коэффициенту при вариации обобщенной координаты в выражении для виртуальной работы активных сил системы, называют обобщенной силой, соответствующей обобщенной координате .

При определении обобщенных сил можно использовать следующий прием. Дадим системе такое виртуальное перемещение, при котором изменяется только одна обобщенная координата, соответствующая искомой обобщенной силе, и вычислим сумму работ активных сил. Допустим, что , тогда из равенства ( ) получим , т.е.

Аналогично можно определить и остальные обобщенные силы.

26. Условия равновесия механической системы в обобщенных координатах.

Согласно принципу виртуальных перемещений, условие является необходимым и достаточным для равновесия системы с идеальными и стационарными связями. Переходя к обобщенным координатам, находим  .

Пусть связи, наложенные на систему, являются голономными. В силу независимости вариаций обобщенных координат равенство нулю возможно только в том случае, когда все коэффициенты при вариациях обобщенных координат равны нулю.

Для равновесия механической системы с идеальными, стационарными и голономными связями необходимо и достаточно, чтобы все обобщенные силы были равны нулю

Для консервативных механических систем необходимым и достаточным условием равновесия является система равенств:

27. Уравнение Лагранжа второго рода.

Преобразуем уравнение ( ), подставив в него вариацию радиус-вектора по формуле ( )

Изменяя порядок суммирования, получим

Учитывая формулу ( ) для обобщенной силы , упростим последнее равенство

Преобразуем произведение под знаком суммы:

Скорость j-й точки системы

линейно зависит от обобщенных скоростей , так как радиус-векторы и, следовательно, их частные производные зависят только от обобщенных координат и времени, как следует из формулы ( ). Поэтому, дифференцируя частным образом обе части равенства по обобщенной скорости, получим

Продифференцируем ( ) по обобщенной координате:

Последний результат является следствием независимости смешанных частных производных от порядка дифференцирования.

Учитывая равенства ( ) и ( ), перепишем соотношение ( )

,

где – кинетическая энергия j-й точки системы. Подставим полученное соотношение в уравнение ( ):

.

Изменяя порядок суммирования и дифференцирования, а также учитывая, что , где Т – кинетическая энергия системы, из уравнения получим

Так как вариации обобщенных координат являются произвольными независимыми величинами, равенство имеет место тогда и только тогда, когда все коэффициенты при равны нулю, т.е.

Уравнения носят название уравнений Лагранжа второго рода или уравнений Лагранжа в независимых координатах. После выполнения операций дифференцирования в левые части этих уравнений входят такие параметры: время t, обобщенные координаты , обобщенные скорости и обобщенные ускорения . Обобщенные силы зависят от параметров t, , . Таким образом, уравнения Лагранжа представляют собой систему s обыкновенных дифференциальных уравнений 2-го порядка, т.е. порядок всей системы равен 2s. Однако порядок системы дифференциальных уравнений, описывающих движение голономной системы с s степенями свободы, не может быть меньше, чем 2s, так как в силу произвольности начальных значений величин и , решение системы должно содержать, по крайней мере, 2s произвольных постоянных. Поэтому система уравнений Лагранжа второго рода имеет наименьший возможный порядок.

Интегрирование уравнений ( ) позволяет получить зависимости обобщенных координат от времени , что полностью определяет движение системы. В случае несвободной системы следует также определить реакции идеальных связей, которые не входят в уравнения Лагранжа. Подставив зависимости в выражения ( ), получим зависимости радиус-векторов точек системы от времени , дифференцируя которые, определим скорости и ускорения всех точек. После этого найдем реакции связей из уравнений ( )

.