6.1. Число способов, которыми на черную и белую клетку шахматной доски можно поставить по белой ладье так, чтобы они не располагались на одной вертикали или горизонтали, равно
1) 49*32 2) 64*32 3) 64*49 4) 32*24 5) 64 24
Решение: Расстановку ладей представим как последовательное исполнение двух операций. Первая состоит в помещении ладьи на белую клетку (32 способа), вторая - в помещении ладьи на допустимую черную клетку (независимо от исхода первой операции способов 24). Верный ответ №4.
6.2. Все мальчики в классе занимаются футболом или хоккеем. Известно, что футболом занимается 14, хоккеем 16, обоими видами спорта 6 ребят. Число мальчиков в классе равно
1) 30 2) 18 3) 24 4) 20 5) 28
Решение: Если А множество футболистов, а В множество хоккеистов, то |АUВ| =|А|+|В|-|А^В|=14+16-6=24. Верный ответ №3.
6.3. Четырехзначных чисел, в записи которых встречаются по одной единице и двойке, причем записанных рядом, всего существует
1) 352 2) 356 3) 362 4) 366 5) 372
Решение: Все подходящие числа распадаются на следующие непересекающиеся множества (на месте символа * может стоять любая из допустимых цифр):
12**, 21**- таких чисел 2 8 8=128;
*12*, *21* - таких чисел 2 7 8=112 (цифра 0 не может быть первой);
**12, **21 - таких чисел также 2 7 8=112.
Применение принципа сложения приводит к ответу 352. Верный ответ №1.
6.4. Количество страниц в книге, для записи номеров всех страниц которой потребовалось 1308 цифр, равно:
1) 520 2) 606 3) 472 4) 814 5) 1024
Решение: Все числа разобьем на непересекающиеся подмножества по числу десятичных знаков. Однозначных чисел всего 9, для их записи требуется 9 цифр. Двузначных - 90 (от 10 до 99), для их записи требуется 180 цифр. Трехзначных - 900 (от 100 до 999), для их записи требуется 3 900=2700 цифр. По-скольку 2700+180+9>1308>180+9, то число страниц в книге трехзначное. Для определения числа страниц вычислим значение (1308 (180+9))/3=373. Значит, последняя страница имеет номер, равный 373 трехзначному числу, т.е. ее номер равен 373+99=472 (ответ №3).
6.5. Из букв а,б,в,г составляются всевозможные четырехбуквенные слова за исключением слов, в которых все буквы совпадают. Сколько всего таких слов существует?
1) 252 2) 256 3) 120 4) 264 5) 184
Решение: Всего четырехбуквенных слов существует 44=256, из них 4 состоят из совпадающих букв. Верный ответ 252 (№1).
6.6. На собрании присутствует 10 человек. Сколькими способами можно выбрать председателя, его заместителя и секретаря?
1) 630 2) 650 3) 680 4) 700 5) 720
Решение: Выбор равносилен присвоению троим участникам собрания номеров 1,2,3. Таких способов 10 9 8=720. Верный ответ №5.
6.7. На вечере было 4 юношей и 4 девушки. Известно, что в каждом танце участвовали все, семейства пар для любых двух танцев отличались одно от другого. Танцев могло состояться не более (следует выбрать наименьшее возможное число)
1) 23 2) 24 3) 25 4) 26 5) 27
Решение: Занумеруем юношей. Каждый танец характеризуется тогда присвоением номеров девушкам. По условию, разным танцам соответствуют разные нумерации женщин. Значит, танцев не могло быть больше числа способов нумерации девушек, т.е. 4!=24. Верный ответ №2.
6.8. На собрании присутствует 10 человек. Сколькими способами можно выбрать троих для оформления стенгазеты?
1) 182 2) 164 3) 146 4) 132 5) 120.
Решение: Выбор можно осуществить=120 способами. Верный ответ №5. Отличие от задачи 6.6 состоит в том, что здесь выбранные люди равноправны.
6.9. Из спортивной команды, в которой 6 человек, в соревновании должны участвовать не менее двух. Сколькими составами команда может принять участие в соревновании?
1) 46 2) 57 3) 61 4) 64 5) 69
Решение: Всего из 6 человек можно составить 26=64 различных групп. Среди них одна пустая и 6 содержат по одному человеку. Итого, условию удовлетворяют 64-1-6=57 составов. Верный ответ №2.
6.10. Из 10 школьников двоих надо оставить убираться в классе, двоих в школьном коридоре, а остальных отправить на уборку школьного двора. Сколькими способами это можно сделать?
1) 1120 2) 1180 3) 1240 4) 1260 5) 1320
Решение: Группу надо разбить на три части. В первой и второй должно быть по двое школьников, в третьей 6. Число способов разбиения равно. Верный ответ №4.
6.11. Ювелиру нужно выбрать три камня для броши. У него есть рубины, сапфиры, аметисты и изумруды одного размера (камней каждого вида больше трех). Сколькими способами он может это сделать?
1) 16 2) 20 3) 24 4) 28 5) 32
Решение: Выбор камней соответствует схеме сочетаний с повторениями. Число способов равно . Верный ответ №3.
Поясним решение этой задачи перечислением вариантов.
все выбранные камни разные - 4 способа;
все выбранные камни одинаковые - 4 способа;
два камня одного вида (можно выбрать 4 способами), третий - другого (3 способа). По принципу умножения получаем 12 способов.
Итого по принципу сложения получаем 20 способов.
[Предыдущая тема] [Теоретическая часть] [Тестирование] [Следующая тема]