Тема 5. Базис на плоскости и в пространстве. Координаты вектора. Скалярное произведение векторов.

Линейная зависимость произвольных четырех векторов в пространстве.

Понятие базиса. Базис на прямой, на плоскости и в пространстве.

Разложение вектора по базису. Координаты вектора. Единственность разложения по базису. Координаты суммы векторов и произведения вектора на число.

Скалярное произведение векторов. Геометрические и алгебраические свойства скалярного произведения. Выражение скалярного произведения в декартовых координатах.

Раздел 4. Алгебраические линии и поверхности

Тема 6. Линии и поверхности первого порядка.

Алгебраический многочлен. Аналитическое представление линии на плоскости, поверхности и линии в пространстве при помощи уравнений, связывающих координаты точек. Понятие алгебраической линии.

Различные виды уравнения прямой на плоскости.

Различные виды уравнения прямой в пространстве.

Различные виды уравнения плоскости в пространстве.

Тема 7. Взаимное расположение прямых на плоскости. Взаимное расположение прямых и плоскостей в пространстве.

Параллельность, совпадение и пересечение прямых на плоскости. Перпендикулярность прямых. Угол между прямыми.

Параллельность, совпадение, скрещивание и пересечение прямых в пространстве.

Параллельность, совпадение и пересечение плоскостей. Угол между плоскостями.

Угол между прямой и плоскостью.

Раздел 5. Системы линейных уравнений.

Тема 8. Понятие системы m линейных уравнений с n неизвестными. Квадратные системы. Метод Крамера.

Общий вид системы m линейных уравнений с n неизвестными. Совместные и несовместные системы. Определенные и неопределенные СЛУ. Однородные и неоднородные системы уравнений. Развернутая, матричная и векторная формы записи СЛУ.

Квадратные системы. Метод Крамера.

Тема 9. Метод Гаусса. Примеры экономического содержания.

Элементарные преобразования строк матрицы. Приведение матрицы к трапециевидному виду. Метод Гаусса. Запись решения неопределенной СЛУ.

Примеры экономического содержания. Транспортная задача (система ограничений). Задача планирования ассортимента выпуска продукции при ограниченных ресурсах.

Раздел 6. Функции одной переменной. Пределы и непрерывность.

Тема 10. Числовые множества. Понятие вещественной функции одной переменной.

Понятие множества. Элементы множества. Отношение принадлежности. Пустое множество. Подмножество. Конечные и бесконечные множества. Способы задания множеств. Операции над множествами (пересечение и объединение).

Числовые множества. Множества натуральных, целых, рациональных, иррациональных и вещественных чисел. Числовая прямая. Числовые промежутки.

Модуль вещественного числа. Геометрический смысл модуля. Окрестность точки на числовой прямой. Понятие -окрестности точки.

Понятие вещественной функции одной переменной. Область определения и область значений функции. Способы задания функции. Четные, нечетные, периодические функции. Монотонные функции. Элементарные функции. Сложная функция. Взаимнооднозначная функция. Обратная функция. Числовая последовательность как функция натурального аргумента.

Тема 11. Предел функции в точке и в бесконечности. Непрерывность функции в точке и на промежутке.

Определение предела числовой последовательности.

Определение предела функции в точке и в бесконечности. Односторонние пределы.

Бесконечно малые и бесконечно большие величины. Основные теоремы о пределах. Замечательные пределы.

Непрерывность функции в точке. Непрерывность функции на промежутке. Основные свойства функций, непрерывных на замкнутом промежутке.

Точки разрыва.

Раздел 6. Дифференциальное исчисление функции одной переменной.

Тема 12. Производная функции.

Определение производной функции. Производная как скорость изменения. Геометрический смысл производной.

Дифференцируемость функции в точке и на промежутке. Связь между непрерывностью и дифференцируемостью. Производные основных элементарных функций.

Тема 13. Дифференцирование элементарных функций.

Основные правила дифференцирования. Дифференцирование сложной функции.

Дифференциал функций.

Основные теоремы о производных: формулировки и геометрическая интерпретация теорем Ферма, Ролля, Лагранжа.

Производные высших порядков.

Тема 14. Применение производных к исследованию функции.

Признаки постоянства, убывания и возрастания функции. Экстремумы функций.

Отыскание наибольших и наименьших значений функции.

Выпуклость вверх и вниз графика функции, точки перегиба.

Асимптоты графика функции.

Общая схема исследования функции. Построение графиков.

Раздел  7. Интегральное исчисление функции одной переменной. Дифференциальные уравнения.

Тема 15. Неопределенный интеграл.

Первообразная и неопределенный интеграл. Свойства неопределенных интегралов. Таблица простейших интегралов.

Методы интегрирования: подстановка (замена переменной), интегрирование по частям.

Тема 16. Определенный интеграл.

Определенный интеграл как предел интегральных сумм. Основные свойства определенных интегралов.

Определенный интеграл с переменным верхним пределом.

Формула Ньютона-Лейбница. Методы вычисление определенных интегралов.

Геометрический смысл определенного интеграла.

Понятие о несобственных интегралах.

Тема 17. Дифференциальные уравнения.

Понятие обыкновенного дифференциального уравнения. Порядок дифференциального уравнения. Решение дифференциального уравнения: общее решение и частное решение.

Дифференциальное уравнение первого порядка. Геометрическая интерпретация дифференциального уравнения. Существование и единственность решения.

Начальные условия. Задача Коши.

Уравнение с разделяющимися переменными. Дифференциальное уравнение изменения численности популяции. Дифференциальное уравнение стабилизации процесса (производства, народонаселения, насыщения товарами и т.п.).