20. Определители матриц их свойства и методы вычисления.

Определитель матрицы – det A, – n-го порядка, порождаемый данной квадратной матрицей – алгебраическая сумма всевозможных произведений, которые можно составить из элементов матрицы, беря по одному элементу из каждой строки и каждого столбца матрицы; перед произведением ставится «+» или «-» в зависимости от того, будет ли перестановка индексов столбцов в произведении четной или нечетной, при этом предполагается, что множители написаны в порядке следования строк.

Вычисление:

n = 1

n = 2

n = 3

Минор матрицы к элементу квадратной матрицы А называется определитель матрицы, полученной из матрицы вычеркиванием i-той строки и j-го столбца.

Алгебраическое дополнение матрицы А – число

Определитель n-го порядка – число, равное сумме произведений элементов любого ряда (или строки, или столбца) на их соответствующее алгебраическое дополнение (разложение).

Свойства определителя:

• При добавлении к любой строке (столбцу) линейной комбинации других строк (столбцов), определитель не изменится

• Если две строки (столбца) совпадают, то определитель равен 0

• Если две (Несколько) строк (столбцов) линейно зависимы, то определитель равен 0

• Общий множитель элементов какого либо ряда определителя можно вынести за знак определителя

• Если хотя бы один столбец (строка) нулевая, то определитель равен 0

• Сумма произведений всех элементов любой строки на их алгебраическое дополнение равна определителю

• Сумма произведений всех элементов любого ряда на алгебраическое дополнение соответствующих элементов ряда равна нулю

• Определитель произведения квадратных матриц одинакового порядка равен произведению их определителей

• Величина определителя не изменится, если все его строки заменить столбцами (транспонировать)

• Если любые две строки или два столбца поменять местами, то определитель сменится на противоположный

• Если две строки (столбца) пропорциональны, то определитель равен 0

• Если к элементу любой строки (столбца) добавить соответствующие элементы другой строки (столбца) или умножить на общий множитель, то определитель не изменится

• Определитель не поменяет своего значения, если матрицу определителя преобразовать по методу Ж-Г с разрешающим элементом 1.

21. Системы линейных алгебраических уравнений, основные определения и методы решения.

Система из m уравнений первой степени с n неизвестными может быть записана в виде:

Определению подлежат , свободные члены - , заданы коэффициенты при неизвестных .

Краткая запись СЛАУ:

Совокупность чисел , …, является решением СЛАУ, если они, будучи подставлены в уравнение системы на место соответствующих неизвестных, обращают все уравнения в тождества.

СЛАУ называется совместной, если она имеет решения. Совместная система м.б. определенной (одно решение) и неопределенной (решений более одного). Система называется несовместной или противоречивой, если она не имеет решений.

Две СЛАУ являются эквивалентными или равносильными, если имеют одни и те же решения.

Матрица А из коэффициентов при неизвестных СЛАУ – матрица системы

Матрица расширенная матрица (с добавлением свободных членов)

Матрица неизвестных – Х. Матричная запись СЛАУ – АХ = В.

Элементарные преобразования СЛАУ:

• Перестановка каких-либо двух уравнений системы

• Умножение обеих частей одного уравнения на любое число, отличное от нуля

• Прибавление к обеим частям одного уравнения соответствующих частей другого, умноженных на любое число.

Данные преобразования приводят систему в эквивалентную.

Решение методом Жордано-Гаусса (метод последовательного исключения неизвестных)

Составление расширенной матрицы

Подвергая систему линейных алгебраических уравнений элементарным преобразованиям, можно исключить любую неизвестную из всех уравнений, кроме какого-нибудь одного уравнения. Последовательно исключаются из системы переменные по правилу прямоугольника:

Система преобразуется в новую СЛАУ уравнений, эквивалентную данной, притом число уравнений в новой системе может быть меньше, чем в исходной, так как в процессе преобразований могли появиться нуль-уравнения (все коэффициенты =0), которые можно исключить.

Процесс последовательного исключения неизвестных закончится либо тогда, когда мы придем к системе, содержащей только нуль-уравнения , что будет означать несовместность исследуемой системы, либо тогда, когда система примет вид:

Полученная система имеет базисные переменные ( ) и свободные переменные. Отсюда мы можем получить общее решение системы (выразить базисные переменные через свободные), базнисное решение (приравнять свободные переменные к 0), частное решение (приравняв свободные члены определенным числам).