17. Матрицы, их классификация, алгебра матриц.

Совокупность действительных чисел, расположенных в виде прямоугольной таблицы, состоящей из m строк и n столбцов, называется матрицей размера m на n:

Краткая запись:

Числа - элементы матрицы, строки и столбцы – ряды матрицы. При m = 1 и n = 1 получается соответственно матрица-строка или матрица-столбец (векторы). Матрица называется нулевой, если все ее элементы равны нулю.

Если m = n, то матрица называется квадратной, а число n параллельных рядов – порядком матрицы. Элементы образуют ее главную диагональ. Квадратная матрица называется треугольной, если все ее элементы, расположенные по одну сторону от главной диагонали, равны нулю.

Квадратная матрица называется единичной, если все ее элементы главной диагонали равны единице, а остальные – нулю.

Если в матрице А заменит строки столбцами, сохранив их порядок, получится новая матрица, называемая транспонированной по отношению к матрице А. процесс перехода от А к А’ называется транспонированием матрицы. (А’)’ = А.

Сумма двух матриц одного и того же размера – матрица, элементы которой получаются сложением соответствующих элементов данных матриц:

Произведение матрицы на число λ – матрица, элементы которой получаются умножением всех элементов данной матрицы на данное число: λ .

Операции сложения и умножения матриц обладают теми же свойствами, что и соответствующие операции над векторами (см. №16).

Умножение матрицы на матрицу определяется только при условии, что число столбцов первого сомножителя А будет равно числу строк второго сомножителя В. в этом случае размерность любой вектор-строки матрицы А будет совпадать с размерностью любого вектор-столбца матрицы В и можно составить их скалярные произведения в любом сочетании.

Произведение матрицы размером m на k на матрицу размером k на n понимают матрицу С размером m на n , элемент которой равен скалярному произведению i-той вектор-строки матрицы А на j-ый вектор-столбец матрицы В:

Действие уможения матриц обладает следующими свойствами:

(AB)C = A(BC)

(A+B)C = AC + BC

(AB)’ = B’A’

α(AB) = (αA)B = A(Αb)

A(B+C) = AB + AC

AE = EA = A

AB ≠BA

18. Обратная матрица, свойства, обращение матрицы методом Жордана-Гаусса.

Квадратная матрица – n = m

Квадратная матрица называется единичной, если все ее элементы по главной диагонали равны 1, а остальные – 0 (Е).

Единичная матрица играет ту же самую роль, что и единица в множестве действительных чисел.

Пусть задана квадратная матрица А. Матрица называется обратной к матрице А, если:

Квадратная матрица является невырожденной, если к ней существует обратная.

Обратная матрица единственна.

Метод Жордано-Гаусса (присоединение единичной присоединенной).

К исходной матрице А справа припысывается единичная матрица той же размерности (А | Е). При помощи метода Ж-Г «перегоняем» единичную матрицу влево, а справа получим обратную матрицу к данной:

 …

Как пересчитывать по Ж-Г – №1.

19. Ранг матрицы, элементарные преобразования матриц, вычисление ранга матрицы.

Ранг матрицы – число, равное рангу системы векторов, координатами которых являются столбцы данной матрицы.

Определение ранга матрицы:

1. Приведение к базисному виду

2. Ранг равен числу ненулевых строк после приведения ее к базисному виду

   – ранг матрицы равен 3

Элементарные преобразования:

1. Перестановка местами любых двух строк

2. Умножение любой строки или столбца матрицы не число, не равное 0

3. Сложение любых строк матрицы

4. Удаление из системы нулевой строки