3. Двойственные оценки ресурсов и технологий. Математическая модель задачи определения двойственных оценок, их экономическое содержание.

№2

4. Несимметричная пара двойственных задач, правила составления, её особенности.

(1.1.)

при ограничениях по ресурсам:

(1.2.)

и при условии неотрицательности переменных:

(1.3.)

Правила составления аналогичны симметричной (см. №2), но с учетом следующих особенностей:

• Ограничения двойственной задачи – неравенства. Если в условии функции двойственной задачи требуется найти min, то знак неравенства ≥0 если max , то ≤0.

• Переменные произвольные по знаку, т.е. могут принимать как положительные, так и отрицательные значения.

Составление двойственной задачи:

Каждому равенству соответствуют неравенства:

а)

б)

Запишем каждое равенство на два неравенства:

(1.1.)

5. Первая основная теорема двойственности и её экономическая интерпретация.

Если одна из задач пары двойственных задач имеет оптимальное решение, то и другая имеет оптимальное решение, причем экстремальные значения линейных форм равны; если же форма одной из задач не ограничена, то и система условий другой задачи противоречива.

Симплекс-метод решения одной задачи приводит к решении другой, между переменными исходной и двойственной задач существует строгое и однозначное соответствие.

Экономические содержание:

В терминах оценок она м.б сформулирована следующим образом: если задача определения оптимального плана, оптимизирующего выпуск продукции, разрешима, то разрешима и задача определения min оценок ресурсов, причем цена продукта, полученного при реализации оптимального плана, совпадает с суммарной оценкой имеющихся ресурсов.

6. Вторая основная теорема двойственности и её экономическая интерпретация.

Для того чтобы допустимые решения , , … , ) и , , … , ) пары двойственных задач являлись оптимальным решением этих задач, необходимо и достаточно выполнение условий:

Т.о., если какое-либо неравенство системы ограничений одной из задач не обращается в точное равенство оптимальным решением этой задачи, то соответствующая компонента оптимального решения двойственной задачи должна равняться нулю; если же какая-либо компонента оптимального решения одной из задач положительна, то соответствующее ограничение в двойственной задаче ее оптимального решения должно обращаться в точное равенство. Другими словами:

1. Если для некоторого j, то

2. Если то

3. Если для некоторого i, то

4. Если то

Экономическое содержание:

Следует обратиться к последним утверждениям (1-4).

3,4: если по оптимальному плану x* производства расход i-го ресурса строго меньше его запаса т.е. если , то оценка единицы этого ресурса равна нулю. Если же оценка i-го ресурса строго больше нуля, т.е. , то расход этого ресурса равен его запасу

Т.о., оценки оптимального плана выступают как мера дефицитности ресурсов. Дефицитный ресурс – использованный полностью по оптимальному плану – имеет положительную оценку, а недефицитный ресурс – использованный не полностью – нулевую.

1,2: если оценки ресурсов, расходуемых по j-той технологии в единицу времени строго больше цены продукта, производимого по той же технологии, т.е. если , то j-я технология не применяется: . Если же по некоторому оптимальному плану производства j-я технология применяется, т.е. если , то оценка ресурсов, расходуемых по этой технологии в единицу времени, равна цене продукта, производимого по той же технологии:

Т.о., оценки оптимального плана выступают как инструмент определения эффективности отдельной технологии. Данный способ используется только в том случае, когда его реализационная оценка затраченных ресурсов и цена полученной продукции совпадают.